Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73760 / 90144
↖ ↑ ↗
← S 55.825973°
E 22.587890°		 ← 171.56 m → S 55.825973°
E 22.590637°		 →
↑
171.57 m
↓
↑
171.57 m
↓
S 55.827516°
E 22.587890°		 ← 171.55 m →
29 434 m²		 S 55.827516°
E 22.590637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562747955322266 y=0.687747955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562747955322266 × 217)
    floor (0.562747955322266 × 131072)
    floor (73760.5)     		tx = 73760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687747955322266 × 217)
    floor (0.687747955322266 × 131072)
    floor (90144.5)     		ty = 90144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73760 / 90144 ti = "17/73760/90144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73760/90144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73760 ÷ 217
    73760 ÷ 131072     		x = 0.562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90144 ÷ 217
    90144 ÷ 131072     		y = 0.687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562744140625 × 2 - 1) × π
    0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    -0.37548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17963122585034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39423306} λ = 0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17963122585034))-π/2
    2×atan(0.307392075953325)-π/2
    2×0.298224642695219-π/2
    0.596449285390439-1.57079632675     		φ = -0.97434704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97434704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.825973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73760 KachelY 90144 0.39423306 -0.97434704 22.587890 -55.825973
    Oben rechts KachelX + 1 73761 KachelY 90144 0.39428100 -0.97434704 22.590637 -55.825973
    Unten links KachelX 73760 KachelY + 1 90145 0.39423306 -0.97437397 22.587890 -55.827516
    Unten rechts KachelX + 1 73761 KachelY + 1 90145 0.39428100 -0.97437397 22.590637 -55.827516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97434704--0.97437397) × R
    2.69299999999806e-05 × 6371000     		dl = 171.571029999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97434704--0.97437397) × R
    2.69299999999806e-05 × 6371000     		dr = 171.571029999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39423306-0.39428100) × cos(-0.97434704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.561708390106942 × 6371000     		do = 171.560200712509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39423306-0.39428100) × cos(-0.97437397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.561686109763863 × 6371000     		du = 171.553395722237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97434704)-sin(-0.97437397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561708390106942-0.561686109763863)×R²
    abs(0.39428100-0.39423306)×2.22803430786067e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22803430786067e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22803430786067e-05×40589641000000     		ar = 29434.1765754604m²