Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73776 / 73712
↖ ↑ ↗
← S 21.902278°
E 22.631836°		 ← 283.38 m → S 21.902278°
E 22.634583°		 →
↑
283.38 m
↓
↑
283.38 m
↓
S 21.904826°
E 22.631836°		 ← 283.38 m →
80 304 m²		 S 21.904826°
E 22.634583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562870025634766 y=0.562381744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562870025634766 × 217)
    floor (0.562870025634766 × 131072)
    floor (73776.5)     		tx = 73776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562381744384766 × 217)
    floor (0.562381744384766 × 131072)
    floor (73712.5)     		ty = 73712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73776 / 73712 ti = "17/73776/73712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73776/73712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73776 ÷ 217
    73776 ÷ 131072     		x = 0.5628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73712 ÷ 217
    73712 ÷ 131072     		y = 0.5623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5628662109375 × 2 - 1) × π
    0.125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39500005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5623779296875 × 2 - 1) × π
    -0.124755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.391932091293579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39500005} λ = 0.39500005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.391932091293579))-π/2
    2×atan(0.675750001711)-π/2
    2×0.594264731299957-π/2
    1.18852946259991-1.57079632675     		φ = -0.38226686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39500005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.631836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38226686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.902278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73776 KachelY 73712 0.39500005 -0.38226686 22.631836 -21.902278
    Oben rechts KachelX + 1 73777 KachelY 73712 0.39504799 -0.38226686 22.634583 -21.902278
    Unten links KachelX 73776 KachelY + 1 73713 0.39500005 -0.38231134 22.631836 -21.904826
    Unten rechts KachelX + 1 73777 KachelY + 1 73713 0.39504799 -0.38231134 22.634583 -21.904826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38226686--0.38231134) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dl = 283.382080000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38226686--0.38231134) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dr = 283.382080000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39500005-0.39504799) × cos(-0.38226686) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927821425479114 × 6371000     		do = 283.380545464955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39500005-0.39504799) × cos(-0.38231134) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927804832424084 × 6371000     		du = 283.375477518844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38226686)-sin(-0.38231134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927821425479114-0.927804832424084)×R²
    abs(0.39504799-0.39500005)×1.65930550301008e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65930550301008e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65930550301008e-05×40589641000000     		ar = 80304.2503360943m²