Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73791 / 73791
↖ ↑ ↗
← S 22.103454°
E 22.673035°		 ← 282.92 m → S 22.103454°
E 22.675781°		 →
↑
282.94 m
↓
↑
282.94 m
↓
S 22.105999°
E 22.673035°		 ← 282.91 m →
80 047 m²		 S 22.105999°
E 22.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562984466552734 y=0.562984466552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562984466552734 × 217)
    floor (0.562984466552734 × 131072)
    floor (73791.5)     		tx = 73791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562984466552734 × 217)
    floor (0.562984466552734 × 131072)
    floor (73791.5)     		ty = 73791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73791 / 73791 ti = "17/73791/73791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73791/73791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73791 ÷ 217
    73791 ÷ 131072     		x = 0.562980651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73791 ÷ 217
    73791 ÷ 131072     		y = 0.562980651855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562980651855469 × 2 - 1) × π
    0.125961303710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.39571911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562980651855469 × 2 - 1) × π
    -0.125961303710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.395719106363564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39571911} λ = 0.39571911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395719106363564))-π/2
    2×atan(0.67319576578857)-π/2
    2×0.592509138364943-π/2
    1.18501827672989-1.57079632675     		φ = -0.38577805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39571911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.673035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38577805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.103454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73791 KachelY 73791 0.39571911 -0.38577805 22.673035 -22.103454
    Oben rechts KachelX + 1 73792 KachelY 73791 0.39576704 -0.38577805 22.675781 -22.103454
    Unten links KachelX 73791 KachelY + 1 73792 0.39571911 -0.38582246 22.673035 -22.105999
    Unten rechts KachelX + 1 73792 KachelY + 1 73792 0.39576704 -0.38582246 22.675781 -22.105999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38577805--0.38582246) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dl = 282.936109999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38577805--0.38582246) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dr = 282.936109999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39571911-0.39576704) × cos(-0.38577805) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926505948392149 × 6371000     		do = 282.919737208275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39571911-0.39576704) × cos(-0.38582246) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926489236878441 × 6371000     		du = 282.914634146525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38577805)-sin(-0.38582246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926505948392149-0.926489236878441)×R²
    abs(0.39576704-0.39571911)×1.67115137077456e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67115137077456e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67115137077456e-05×40589641000000     		ar = 80047.4879809094m²