Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 738 / 1250
S 36.879621°
W 50.273437°
← 15.635 km → S 36.879621°
W 50.097656°

15.620 km

15.620 km
S 37.020098°
W 50.273437°
← 15.606 km →
243.996 km²
S 37.020098°
W 50.097656°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360595703125 y=0.610595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360595703125 × 211)
    floor (0.360595703125 × 2048)
    floor (738.5)
    tx = 738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.610595703125 × 211)
    floor (0.610595703125 × 2048)
    floor (1250.5)
    ty = 1250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 738 / 1250 ti = "11/738/1250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/738/1250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 738 ÷ 211
    738 ÷ 2048
    x = 0.3603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1250 ÷ 211
    1250 ÷ 2048
    y = 0.6103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.3603515625 × 2 - 1) × π
    -0.279296875 × 3.1415926535
    Λ = -0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.6103515625 × 2 - 1) × π
    -0.220703125 × 3.1415926535
    Φ = -0.693359316104492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87743701} λ = -0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.693359316104492))-π/2
    2×atan(0.499893943477303)-π/2
    2×0.463562760183344-π/2
    0.927125520366688-1.57079632675
    φ = -0.64367081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64367081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.879621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 738 KachelY 1250 -0.87743701 -0.64367081 -50.273437 -36.879621
    Oben rechts KachelX + 1 739 KachelY 1250 -0.87436905 -0.64367081 -50.097656 -36.879621
    Unten links KachelX 738 KachelY + 1 1251 -0.87743701 -0.64612260 -50.273437 -37.020098
    Unten rechts KachelX + 1 739 KachelY + 1 1251 -0.87436905 -0.64612260 -50.097656 -37.020098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.64367081--0.64612260) × R
    0.00245178999999995 × 6371000
    dl = 15620.3540899997m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.64367081--0.64612260) × R
    0.00245178999999995 × 6371000
    dr = 15620.3540899997m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87743701--0.87436905) × cos(-0.64367081) × R
    0.00306795999999998 × 0.79989816775706 × 6371000
    do = 15634.7881177126m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87743701--0.87436905) × cos(-0.64612260) × R
    0.00306795999999998 × 0.798424358192631 × 6371000
    du = 15605.9810755233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.64367081)-sin(-0.64612260))×
    abs(λ12)×abs(0.79989816775706-0.798424358192631)×
    abs(-0.87436905--0.87743701)×0.00147380956442866×
    0.00306795999999998×0.00147380956442866×6371000²
    0.00306795999999998×0.00147380956442866×40589641000000
    ar = 243996060.64843m²