Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73808 / 73808
↖ ↑ ↗
← S 22.146708°
E 22.719726°		 ← 282.89 m → S 22.146708°
E 22.722473°		 →
↑
282.87 m
↓
↑
282.87 m
↓
S 22.149252°
E 22.719726°		 ← 282.89 m →
80 022 m²		 S 22.149252°
E 22.722473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563114166259766 y=0.563114166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563114166259766 × 217)
    floor (0.563114166259766 × 131072)
    floor (73808.5)     		tx = 73808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563114166259766 × 217)
    floor (0.563114166259766 × 131072)
    floor (73808.5)     		ty = 73808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73808 / 73808 ti = "17/73808/73808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73808/73808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73808 ÷ 217
    73808 ÷ 131072     		x = 0.5631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73808 ÷ 217
    73808 ÷ 131072     		y = 0.5631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5631103515625 × 2 - 1) × π
    0.126220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39653403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.126220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.396534033657104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39653403} λ = 0.39653403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.396534033657104))-π/2
    2×atan(0.672647383661263)-π/2
    2×0.592131678783565-π/2
    1.18426335756713-1.57079632675     		φ = -0.38653297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39653403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.719726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38653297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.146708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73808 KachelY 73808 0.39653403 -0.38653297 22.719726 -22.146708
    Oben rechts KachelX + 1 73809 KachelY 73808 0.39658197 -0.38653297 22.722473 -22.146708
    Unten links KachelX 73808 KachelY + 1 73809 0.39653403 -0.38657737 22.719726 -22.149252
    Unten rechts KachelX + 1 73809 KachelY + 1 73809 0.39658197 -0.38657737 22.722473 -22.149252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38653297--0.38657737) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dl = 282.8724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38653297--0.38657737) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dr = 282.8724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39653403-0.39658197) × cos(-0.38653297) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926221623022251 × 6371000     		do = 282.891924615714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39653403-0.39658197) × cos(-0.38657737) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.926204884221758 × 6371000     		du = 282.886812155187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38653297)-sin(-0.38657737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926221623022251-0.926204884221758)×R²
    abs(0.39658197-0.39653403)×1.67388004927993e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.67388004927993e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.67388004927993e-05×40589641000000     		ar = 80021.5945828897m²