Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73856 / 8320
↖ ↑ ↗
← N 82.631333°
E 22.851562°		 ← 39.17 m → N 82.631333°
E 22.854309°		 →
↑
39.12 m
↓
↑
39.12 m
↓
N 82.630981°
E 22.851562°		 ← 39.17 m →
1 532 m²		 N 82.630981°
E 22.854309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563480377197266 y=0.0634803771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563480377197266 × 217)
    floor (0.563480377197266 × 131072)
    floor (73856.5)     		tx = 73856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0634803771972656 × 217)
    floor (0.0634803771972656 × 131072)
    floor (8320.5)     		ty = 8320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73856 / 8320 ti = "17/73856/8320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73856/8320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73856 ÷ 217
    73856 ÷ 131072     		x = 0.5634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8320 ÷ 217
    8320 ÷ 131072     		y = 0.0634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0634765625 × 2 - 1) × π
    0.873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.74275764866113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39883500} λ = 0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74275764866113))-π/2
    2×atan(15.5297517005883)-π/2
    2×1.50649257519657-π/2
    3.01298515039315-1.57079632675     		φ = 1.44218882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44218882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.631333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73856 KachelY 8320 0.39883500 1.44218882 22.851562 82.631333
    Oben rechts KachelX + 1 73857 KachelY 8320 0.39888294 1.44218882 22.854309 82.631333
    Unten links KachelX 73856 KachelY + 1 8321 0.39883500 1.44218268 22.851562 82.630981
    Unten rechts KachelX + 1 73857 KachelY + 1 8321 0.39888294 1.44218268 22.854309 82.630981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44218882-1.44218268) × R
    6.13999999998782e-06 × 6371000     		dl = 39.1179399999224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44218882-1.44218268) × R
    6.13999999998782e-06 × 6371000     		dr = 39.1179399999224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39883500-0.39888294) × cos(1.44218882) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.128253274183776 × 6371000     		do = 39.1718511750224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39883500-0.39888294) × cos(1.44218268) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.128259363473843 × 6371000     		du = 39.1737110009471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44218882)-sin(1.44218268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.128253274183776-0.128259363473843)×R²
    abs(0.39888294-0.39883500)×6.08929006687409e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.08929006687409e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.08929006687409e-06×40589641000000     		ar = 1532.35850024676m²