Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73858 / 73858
↖ ↑ ↗
← S 22.273847°
E 22.857056°		 ← 282.64 m → S 22.273847°
E 22.859803°		 →
↑
282.62 m
↓
↑
282.62 m
↓
S 22.276389°
E 22.857056°		 ← 282.63 m →
79 877 m²		 S 22.276389°
E 22.859803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563495635986328 y=0.563495635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563495635986328 × 217)
    floor (0.563495635986328 × 131072)
    floor (73858.5)     		tx = 73858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563495635986328 × 217)
    floor (0.563495635986328 × 131072)
    floor (73858.5)     		ty = 73858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73858 / 73858 ti = "17/73858/73858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73858/73858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73858 ÷ 217
    73858 ÷ 131072     		x = 0.563491821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73858 ÷ 217
    73858 ÷ 131072     		y = 0.563491821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563491821289062 × 2 - 1) × π
    0.126983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39893088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563491821289062 × 2 - 1) × π
    -0.126983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.398930878638107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39893088} λ = 0.39893088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.398930878638107))-π/2
    2×atan(0.671037082747495)-π/2
    2×0.591022176197429-π/2
    1.18204435239486-1.57079632675     		φ = -0.38875197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39893088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.857056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38875197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.273847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73858 KachelY 73858 0.39893088 -0.38875197 22.857056 -22.273847
    Oben rechts KachelX + 1 73859 KachelY 73858 0.39897882 -0.38875197 22.859803 -22.273847
    Unten links KachelX 73858 KachelY + 1 73859 0.39893088 -0.38879633 22.857056 -22.276389
    Unten rechts KachelX + 1 73859 KachelY + 1 73859 0.39897882 -0.38879633 22.859803 -22.276389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38875197--0.38879633) × R
    4.4360000000021e-05 × 6371000     		dl = 282.617560000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38875197--0.38879633) × R
    4.4360000000021e-05 × 6371000     		dr = 282.617560000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39893088-0.39897882) × cos(-0.38875197) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.925382825972549 × 6371000     		do = 282.635734406099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39893088-0.39897882) × cos(-0.38879633) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.925366011122472 × 6371000     		du = 282.630598718071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38875197)-sin(-0.38879633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925382825972549-0.925366011122472)×R²
    abs(0.39897882-0.39893088)×1.68148500765408e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.68148500765408e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.68148500765408e-05×40589641000000     		ar = 79877.0959220053m²