Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73864 / 73864
↖ ↑ ↗
← S 22.289096°
E 22.873535°		 ← 282.60 m → S 22.289096°
E 22.876282°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
S 22.291637°
E 22.873535°		 ← 282.60 m →
79 850 m²		 S 22.291637°
E 22.876282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563541412353516 y=0.563541412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563541412353516 × 217)
    floor (0.563541412353516 × 131072)
    floor (73864.5)     		tx = 73864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563541412353516 × 217)
    floor (0.563541412353516 × 131072)
    floor (73864.5)     		ty = 73864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73864 / 73864 ti = "17/73864/73864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73864/73864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73864 ÷ 217
    73864 ÷ 131072     		x = 0.56353759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73864 ÷ 217
    73864 ÷ 131072     		y = 0.56353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56353759765625 × 2 - 1) × π
    0.1270751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39921850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56353759765625 × 2 - 1) × π
    -0.1270751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.399218500035828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39921850} λ = 0.39921850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.399218500035828))-π/2
    2×atan(0.670844105877302)-π/2
    2×0.59088910350213-π/2
    1.18177820700426-1.57079632675     		φ = -0.38901812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39921850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.873535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38901812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.289096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73864 KachelY 73864 0.39921850 -0.38901812 22.873535 -22.289096
    Oben rechts KachelX + 1 73865 KachelY 73864 0.39926644 -0.38901812 22.876282 -22.289096
    Unten links KachelX 73864 KachelY + 1 73865 0.39921850 -0.38906247 22.873535 -22.291637
    Unten rechts KachelX + 1 73865 KachelY + 1 73865 0.39926644 -0.38906247 22.876282 -22.291637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38901812--0.38906247) × R
    4.43499999999708e-05 × 6371000     		dl = 282.553849999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38901812--0.38906247) × R
    4.43499999999708e-05 × 6371000     		dr = 282.553849999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39921850-0.39926644) × cos(-0.38901812) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92528191335139 × 6371000     		do = 282.604913094106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39921850-0.39926644) × cos(-0.38906247) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.925265091369767 × 6371000     		du = 282.599775227921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38901812)-sin(-0.38906247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92528191335139-0.925265091369767)×R²
    abs(0.39926644-0.39921850)×1.68219816231163e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.68219816231163e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.68219816231163e-05×40589641000000     		ar = 79850.3803747593m²