Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73985 / 73983
↖ ↑ ↗
← S 22.591190°
E 23.205871°		 ← 281.99 m → S 22.591190°
E 23.208618°		 →
↑
281.98 m
↓
↑
281.98 m
↓
S 22.593726°
E 23.205871°		 ← 281.99 m →
79 515 m²		 S 22.593726°
E 23.208618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564464569091797 y=0.564449310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564464569091797 × 217)
    floor (0.564464569091797 × 131072)
    floor (73985.5)     		tx = 73985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.564449310302734 × 217)
    floor (0.564449310302734 × 131072)
    floor (73983.5)     		ty = 73983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73985 / 73983 ti = "17/73985/73983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73985/73983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73985 ÷ 217
    73985 ÷ 131072     		x = 0.564460754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73983 ÷ 217
    73983 ÷ 131072     		y = 0.564445495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564460754394531 × 2 - 1) × π
    0.128921508789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40501886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.564445495605469 × 2 - 1) × π
    -0.128890991210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.404922991090614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40501886} λ = 0.40501886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.404922991090614))-π/2
    2×atan(0.667028175993025)-π/2
    2×0.588252837478177-π/2
    1.17650567495635-1.57079632675     		φ = -0.39429065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40501886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.205871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39429065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.591190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73985 KachelY 73983 0.40501886 -0.39429065 23.205871 -22.591190
    Oben rechts KachelX + 1 73986 KachelY 73983 0.40506680 -0.39429065 23.208618 -22.591190
    Unten links KachelX 73985 KachelY + 1 73984 0.40501886 -0.39433491 23.205871 -22.593726
    Unten rechts KachelX + 1 73986 KachelY + 1 73984 0.40506680 -0.39433491 23.208618 -22.593726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39429065--0.39433491) × R
    4.42599999999627e-05 × 6371000     		dl = 281.980459999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39429065--0.39433491) × R
    4.42599999999627e-05 × 6371000     		dr = 281.980459999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40501886-0.40506680) × cos(-0.39429065) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.923269295813451 × 6371000     		do = 281.990207893244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40501886-0.40506680) × cos(-0.39433491) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.923252292281228 × 6371000     		du = 281.985014576832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39429065)-sin(-0.39433491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923269295813451-0.923252292281228)×R²
    abs(0.40506680-0.40501886)×1.70035322225592e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.70035322225592e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.70035322225592e-05×40589641000000     		ar = 79514.9963432826m²