Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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7 / 74 / 10
↖ ↑ ↗
← N 81.923187°
E 28.125000°		 ← 43.940 km → N 81.923187°
E 30.937500°		 →
↑
45.024 km
↓
↑
45.024 km
↓
N 81.518272°
E 28.125000°		 ← 46.127 km →
2 027.60 km²		 N 81.518272°
E 30.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58203125 y=0.08203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58203125 × 27)
    floor (0.58203125 × 128)
    floor (74.5)     		tx = 74
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08203125 × 27)
    floor (0.08203125 × 128)
    floor (10.5)     		ty = 10
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 74 / 10 ti = "7/74/10"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/74/10.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74 ÷ 27
    74 ÷ 128     		x = 0.578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10 ÷ 27
    10 ÷ 128     		y = 0.078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578125 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.078125 × 2 - 1) × π
    0.84375 × 3.1415926535     		Φ = 2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49087385} λ = 0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.65071880139062))-π/2
    2×atan(14.1642162454354)-π/2
    2×1.50031283094907-π/2
    3.00062566189813-1.57079632675     		φ = 1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74 KachelY 10 0.49087385 1.42982934 28.125000 81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 75 KachelY 10 0.53996124 1.42982934 30.937500 81.923187
    Unten links KachelX 74 KachelY + 1 11 0.49087385 1.42276224 28.125000 81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 75 KachelY + 1 11 0.53996124 1.42276224 30.937500 81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42982934-1.42276224) × R
    0.00706709999999999 × 6371000     		dl = 45024.4941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42982934-1.42276224) × R
    0.00706709999999999 × 6371000     		dr = 45024.4941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49087385-0.53996124) × cos(1.42982934) × R
    0.04908739 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 43939.5543550865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49087385-0.53996124) × cos(1.42276224) × R
    0.04908739 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 46126.6505711596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42982934)-sin(1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.147494006831501)×R²
    abs(0.53996124-0.49087385)×0.00699343178488498×R²
    0.04908739×0.00699343178488498×6371000²
    0.04908739×0.00699343178488498×40589641000000     		ar = 2027601095.02198m²