Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 74 / 22
↖ ↑ ↗
← N 75.497157°
E 28.125000°		 ← 78.318 km → N 75.497157°
E 30.937500°		 →
↑
80.206 km
↓
↑
80.206 km
↓
N 74.775843°
E 28.125000°		 ← 82.123 km →
6 434.29 km²		 N 74.775843°
E 30.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58203125 y=0.17578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58203125 × 27)
    floor (0.58203125 × 128)
    floor (74.5)     		tx = 74
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17578125 × 27)
    floor (0.17578125 × 128)
    floor (22.5)     		ty = 22
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 74 / 22 ti = "7/74/22"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/74/22.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74 ÷ 27
    74 ÷ 128     		x = 0.578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22 ÷ 27
    22 ÷ 128     		y = 0.171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578125 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171875 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49087385} λ = 0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06167017885938))-π/2
    2×atan(7.85908493247811)-π/2
    2×1.44423514894581-π/2
    2.88847029789162-1.57079632675     		φ = 1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74 KachelY 22 0.49087385 1.31767397 28.125000 75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 75 KachelY 22 0.53996124 1.31767397 30.937500 75.497157
    Unten links KachelX 74 KachelY + 1 23 0.49087385 1.30508466 28.125000 74.775843
    Unten rechts KachelX + 1 75 KachelY + 1 23 0.53996124 1.30508466 30.937500 74.775843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31767397-1.30508466) × R
    0.0125893100000001 × 6371000     		dl = 80206.4940100005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31767397-1.30508466) × R
    0.0125893100000001 × 6371000     		dr = 80206.4940100005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49087385-0.53996124) × cos(1.31767397) × R
    0.04908739 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 78317.8034122991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49087385-0.53996124) × cos(1.30508466) × R
    0.04908739 × 0.262596026053888 × 6371000     		du = 82123.1682247297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31767397)-sin(1.30508466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.262596026053888)×R²
    abs(0.53996124-0.49087385)×0.0121679874148919×R²
    0.04908739×0.0121679874148919×6371000²
    0.04908739×0.0121679874148919×40589641000000     		ar = 6434288896.76636m²