Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 740 / 100
↖ ↑ ↗
← N 80.872827°
E 80.156250°		 ← 6 201.01 m → N 80.872827°
E 80.507812°		 →
↑
6 219.82 m
↓
↑
6 219.82 m
↓
N 80.816891°
E 80.156250°		 ← 6 238.69 m →
38 686 334 m²		 N 80.816891°
E 80.507812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.72314453125 y=0.09814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.72314453125 × 210)
    floor (0.72314453125 × 1024)
    floor (740.5)     		tx = 740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09814453125 × 210)
    floor (0.09814453125 × 1024)
    floor (100.5)     		ty = 100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 740 / 100 ti = "10/740/100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/740/100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 740 ÷ 210
    740 ÷ 1024     		x = 0.72265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100 ÷ 210
    100 ÷ 1024     		y = 0.09765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.72265625 × 2 - 1) × π
    0.4453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.39899048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09765625 × 2 - 1) × π
    0.8046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52800033836328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.39899048} λ = 1.39899048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52800033836328))-π/2
    2×atan(12.528428453837)-π/2
    2×1.49114671854133-π/2
    2.98229343708265-1.57079632675     		φ = 1.41149711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.39899048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 80.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41149711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.872827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 740 KachelY 100 1.39899048 1.41149711 80.156250 80.872827
    Oben rechts KachelX + 1 741 KachelY 100 1.40512640 1.41149711 80.507812 80.872827
    Unten links KachelX 740 KachelY + 1 101 1.39899048 1.41052084 80.156250 80.816891
    Unten rechts KachelX + 1 741 KachelY + 1 101 1.40512640 1.41052084 80.507812 80.816891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41149711-1.41052084) × R
    0.000976270000000001 × 6371000     		dl = 6219.81617000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41149711-1.41052084) × R
    0.000976270000000001 × 6371000     		dr = 6219.81617000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.39899048-1.40512640) × cos(1.41149711) × R
    0.00613592000000018 × 0.15862633525071 × 6371000     		do = 6201.01218255925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.39899048-1.40512640) × cos(1.41052084) × R
    0.00613592000000018 × 0.159590168645371 × 6371000     		du = 6238.69030588479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41149711)-sin(1.41052084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15862633525071-0.159590168645371)×R²
    abs(1.40512640-1.39899048)×0.000963833394661745×R²
    0.00613592000000018×0.000963833394661745×6371000²
    0.00613592000000018×0.000963833394661745×40589641000000     		ar = 38686334.4164748m²