Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74000 / 74000
↖ ↑ ↗
← S 22.634293°
E 23.247070°		 ← 281.90 m → S 22.634293°
E 23.249817°		 →
↑
281.92 m
↓
↑
281.92 m
↓
S 22.636828°
E 23.247070°		 ← 281.90 m →
79 472 m²		 S 22.636828°
E 23.249817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564579010009766 y=0.564579010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564579010009766 × 217)
    floor (0.564579010009766 × 131072)
    floor (74000.5)     		tx = 74000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.564579010009766 × 217)
    floor (0.564579010009766 × 131072)
    floor (74000.5)     		ty = 74000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74000 / 74000 ti = "17/74000/74000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74000/74000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74000 ÷ 217
    74000 ÷ 131072     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74000 ÷ 217
    74000 ÷ 131072     		y = 0.5645751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    -0.129150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.405737918384155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.405737918384155))-π/2
    2×atan(0.666484817955566)-π/2
    2×0.587876697719403-π/2
    1.17575339543881-1.57079632675     		φ = -0.39504293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39504293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.634293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74000 KachelY 74000 0.40573792 -0.39504293 23.247070 -22.634293
    Oben rechts KachelX + 1 74001 KachelY 74000 0.40578586 -0.39504293 23.249817 -22.634293
    Unten links KachelX 74000 KachelY + 1 74001 0.40573792 -0.39508718 23.247070 -22.636828
    Unten rechts KachelX + 1 74001 KachelY + 1 74001 0.40578586 -0.39508718 23.249817 -22.636828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39504293--0.39508718) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dl = 281.916749999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39504293--0.39508718) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dr = 281.916749999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40578586) × cos(-0.39504293) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.922980043697042 × 6371000     		do = 281.901862851543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40578586) × cos(-0.39508718) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92296301327771 × 6371000     		du = 281.896661323116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39504293)-sin(-0.39508718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922980043697042-0.92296301327771)×R²
    abs(0.40578586-0.40573792)×1.70304193325421e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.70304193325421e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.70304193325421e-05×40589641000000     		ar = 79472.1238078938m²