Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74112 / 74112
↖ ↑ ↗
← S 22.917923°
E 23.554687°		 ← 281.32 m → S 22.917923°
E 23.557434°		 →
↑
281.34 m
↓
↑
281.34 m
↓
S 22.920453°
E 23.554687°		 ← 281.31 m →
79 146 m²		 S 22.920453°
E 23.557434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565433502197266 y=0.565433502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565433502197266 × 217)
    floor (0.565433502197266 × 131072)
    floor (74112.5)     		tx = 74112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565433502197266 × 217)
    floor (0.565433502197266 × 131072)
    floor (74112.5)     		ty = 74112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74112 / 74112 ti = "17/74112/74112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74112/74112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74112 ÷ 217
    74112 ÷ 131072     		x = 0.5654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74112 ÷ 217
    74112 ÷ 131072     		y = 0.5654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    -0.130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.411106851141602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41110685} λ = 0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.411106851141602))-π/2
    2×atan(0.6629160944748)-π/2
    2×0.585401556925823-π/2
    1.17080311385165-1.57079632675     		φ = -0.39999321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39999321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.917923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74112 KachelY 74112 0.41110685 -0.39999321 23.554687 -22.917923
    Oben rechts KachelX + 1 74113 KachelY 74112 0.41115479 -0.39999321 23.557434 -22.917923
    Unten links KachelX 74112 KachelY + 1 74113 0.41110685 -0.40003737 23.554687 -22.920453
    Unten rechts KachelX + 1 74113 KachelY + 1 74113 0.41115479 -0.40003737 23.557434 -22.920453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39999321--0.40003737) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dl = 281.343360000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39999321--0.40003737) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dr = 281.343360000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41110685-0.41115479) × cos(-0.39999321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921063638132197 × 6371000     		do = 281.316543263434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41110685-0.41115479) × cos(-0.40003737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921046440796298 × 6371000     		du = 281.311290754391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39999321)-sin(-0.40003737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921063638132197-0.921046440796298)×R²
    abs(0.41115479-0.41110685)×1.71973358992217e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71973358992217e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71973358992217e-05×40589641000000     		ar = 79145.8026388876m²