Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7424 / 15616
↖ ↑ ↗
← S 83.359512°
W 16.875000°		 ← 282.53 m → S 83.359512°
W 16.853028°		 →
↑
282.43 m
↓
↑
282.43 m
↓
S 83.362052°
W 16.875000°		 ← 282.42 m →
79 779 m²		 S 83.362052°
W 16.853028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453155517578125 y=0.953155517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453155517578125 × 214)
    floor (0.453155517578125 × 16384)
    floor (7424.5)     		tx = 7424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.953155517578125 × 214)
    floor (0.953155517578125 × 16384)
    floor (15616.5)     		ty = 15616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7424 / 15616 ti = "14/7424/15616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7424/15616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7424 ÷ 214
    7424 ÷ 16384     		x = 0.453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15616 ÷ 214
    15616 ÷ 16384     		y = 0.953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453125 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.953125 × 2 - 1) × π
    -0.90625 × 3.1415926535     		Φ = -2.84706834223438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29452431} λ = -0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.84706834223438))-π/2
    2×atan(0.0580141494453179)-π/2
    2×0.057949195618051-π/2
    0.115898391236102-1.57079632675     		φ = -1.45489794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45489794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.359512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7424 KachelY 15616 -0.29452431 -1.45489794 -16.875000 -83.359512
    Oben rechts KachelX + 1 7425 KachelY 15616 -0.29414082 -1.45489794 -16.853028 -83.359512
    Unten links KachelX 7424 KachelY + 1 15617 -0.29452431 -1.45494227 -16.875000 -83.362052
    Unten rechts KachelX + 1 7425 KachelY + 1 15617 -0.29414082 -1.45494227 -16.853028 -83.362052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45489794--1.45494227) × R
    4.43300000001479e-05 × 6371000     		dl = 282.426430000942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45489794--1.45494227) × R
    4.43300000001479e-05 × 6371000     		dr = 282.426430000942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29452431--0.29414082) × cos(-1.45489794) × R
    0.000383489999999986 × 0.115639094724005 × 6371000     		do = 282.531146531891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29452431--0.29414082) × cos(-1.45494227) × R
    0.000383489999999986 × 0.11559506200722 × 6371000     		du = 282.423565146997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45489794)-sin(-1.45494227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.115639094724005-0.11559506200722)×R²
    abs(-0.29414082--0.29452431)×4.40327167851307e-05×R²
    0.000383489999999986×4.40327167851307e-05×6371000²
    0.000383489999999986×4.40327167851307e-05×40589641000000     		ar = 79779.0711786158m²