Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74304 / 74304
↖ ↑ ↗
← S 23.402765°
E 24.082031°		 ← 280.24 m → S 23.402765°
E 24.084778°		 →
↑
280.26 m
↓
↑
280.26 m
↓
S 23.405285°
E 24.082031°		 ← 280.24 m →
78 540 m²		 S 23.405285°
E 24.084778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566898345947266 y=0.566898345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566898345947266 × 217)
    floor (0.566898345947266 × 131072)
    floor (74304.5)     		tx = 74304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566898345947266 × 217)
    floor (0.566898345947266 × 131072)
    floor (74304.5)     		ty = 74304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74304 / 74304 ti = "17/74304/74304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74304/74304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74304 ÷ 217
    74304 ÷ 131072     		x = 0.56689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74304 ÷ 217
    74304 ÷ 131072     		y = 0.56689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    -0.1337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.420310735868652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42031074} λ = 0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.420310735868652))-π/2
    2×atan(0.656842683518634)-π/2
    2×0.581170512568187-π/2
    1.16234102513637-1.57079632675     		φ = -0.40845530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40845530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.402765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74304 KachelY 74304 0.42031074 -0.40845530 24.082031 -23.402765
    Oben rechts KachelX + 1 74305 KachelY 74304 0.42035867 -0.40845530 24.084778 -23.402765
    Unten links KachelX 74304 KachelY + 1 74305 0.42031074 -0.40849929 24.082031 -23.405285
    Unten rechts KachelX + 1 74305 KachelY + 1 74305 0.42035867 -0.40849929 24.084778 -23.405285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40845530--0.40849929) × R
    4.39899999999938e-05 × 6371000     		dl = 280.26028999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40845530--0.40849929) × R
    4.39899999999938e-05 × 6371000     		dr = 280.26028999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42031074-0.42035867) × cos(-0.40845530) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.917735460230772 × 6371000     		do = 280.2415631389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42031074-0.42035867) × cos(-0.40849929) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.917717986858972 × 6371000     		du = 280.236227434616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40845530)-sin(-0.40849929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917735460230772-0.917717986858972)×R²
    abs(0.42035867-0.42031074)×1.74733718006914e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.74733718006914e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.74733718006914e-05×40589641000000     		ar = 78539.8340749507m²