Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74752 / 76800
↖ ↑ ↗
← S 29.535229°
E 25.312500°		 ← 265.68 m → S 29.535229°
E 25.315246°		 →
↑
265.73 m
↓
↑
265.73 m
↓
S 29.537619°
E 25.312500°		 ← 265.67 m →
70 600 m²		 S 29.537619°
E 25.315246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570316314697266 y=0.585941314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570316314697266 × 217)
    floor (0.570316314697266 × 131072)
    floor (74752.5)     		tx = 74752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585941314697266 × 217)
    floor (0.585941314697266 × 131072)
    floor (76800.5)     		ty = 76800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74752 / 76800 ti = "17/74752/76800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74752/76800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74752 ÷ 217
    74752 ÷ 131072     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76800 ÷ 217
    76800 ÷ 131072     		y = 0.5859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5859375 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539961237320313))-π/2
    2×atan(0.582770841695643)-π/2
    2×0.527654662801254-π/2
    1.05530932560251-1.57079632675     		φ = -0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74752 KachelY 76800 0.44178647 -0.51548700 25.312500 -29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 74753 KachelY 76800 0.44183440 -0.51548700 25.315246 -29.535229
    Unten links KachelX 74752 KachelY + 1 76801 0.44178647 -0.51552871 25.312500 -29.537619
    Unten rechts KachelX + 1 74753 KachelY + 1 76801 0.44183440 -0.51552871 25.315246 -29.537619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51548700--0.51552871) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dl = 265.734409999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51548700--0.51552871) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dr = 265.734409999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.44183440) × cos(-0.51548700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 265.681075361939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.44183440) × cos(-0.51552871) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.870032192571849 × 6371000     		du = 265.674796489253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51548700)-sin(-0.51552871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.870032192571849)×R²
    abs(0.44183440-0.44178647)×2.0562060992213e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0562060992213e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0562060992213e-05×40589641000000     		ar = 70599.7695633876m²