Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74752 / 9216
↖ ↑ ↗
← N 82.308893°
E 25.312500°		 ← 40.87 m → N 82.308893°
E 25.315246°		 →
↑
40.90 m
↓
↑
40.90 m
↓
N 82.308525°
E 25.312500°		 ← 40.87 m →
1 672 m²		 N 82.308525°
E 25.315246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570316314697266 y=0.0703163146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570316314697266 × 217)
    floor (0.570316314697266 × 131072)
    floor (74752.5)     		tx = 74752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0703163146972656 × 217)
    floor (0.0703163146972656 × 131072)
    floor (9216.5)     		ty = 9216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74752 / 9216 ti = "17/74752/9216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74752/9216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74752 ÷ 217
    74752 ÷ 131072     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9216 ÷ 217
    9216 ÷ 131072     		y = 0.0703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0703125 × 2 - 1) × π
    0.859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69980618660156))-π/2
    2×atan(14.8768481129497)-π/2
    2×1.50367875244878-π/2
    3.00735750489756-1.57079632675     		φ = 1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74752 KachelY 9216 0.44178647 1.43656118 25.312500 82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 74753 KachelY 9216 0.44183440 1.43656118 25.315246 82.308893
    Unten links KachelX 74752 KachelY + 1 9217 0.44178647 1.43655476 25.312500 82.308525
    Unten rechts KachelX + 1 74753 KachelY + 1 9217 0.44183440 1.43655476 25.315246 82.308525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43656118-1.43655476) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dl = 40.9018200003981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43656118-1.43655476) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dr = 40.9018200003981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.44183440) × cos(1.43656118) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 40.8673265203106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.44183440) × cos(1.43655476) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.133838739897251 × 6371000     		du = 40.8692693076917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43656118)-sin(1.43655476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.133838739897251)×R²
    abs(0.44183440-0.44178647)×6.36224281402864e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.36224281402864e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.36224281402864e-06×40589641000000     		ar = 1671.58776507287m²