Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74754 / 74754
↖ ↑ ↗
← S 24.532132°
E 25.317993°		 ← 277.85 m → S 24.532132°
E 25.320740°		 →
↑
277.84 m
↓
↑
277.84 m
↓
S 24.534631°
E 25.317993°		 ← 277.85 m →
77 198 m²		 S 24.534631°
E 25.320740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570331573486328 y=0.570331573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570331573486328 × 217)
    floor (0.570331573486328 × 131072)
    floor (74754.5)     		tx = 74754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570331573486328 × 217)
    floor (0.570331573486328 × 131072)
    floor (74754.5)     		ty = 74754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74754 / 74754 ti = "17/74754/74754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74754/74754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74754 ÷ 217
    74754 ÷ 131072     		x = 0.570327758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74754 ÷ 217
    74754 ÷ 131072     		y = 0.570327758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570327758789062 × 2 - 1) × π
    0.140655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44188234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.570327758789062 × 2 - 1) × π
    -0.140655517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.441882340697678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44188234} λ = 0.44188234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.441882340697678))-π/2
    2×atan(0.642825265378402)-π/2
    2×0.571314923601025-π/2
    1.14262984720205-1.57079632675     		φ = -0.42816648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44188234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.317993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42816648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.532132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74754 KachelY 74754 0.44188234 -0.42816648 25.317993 -24.532132
    Oben rechts KachelX + 1 74755 KachelY 74754 0.44193028 -0.42816648 25.320740 -24.532132
    Unten links KachelX 74754 KachelY + 1 74755 0.44188234 -0.42821009 25.317993 -24.534631
    Unten rechts KachelX + 1 74755 KachelY + 1 74755 0.44193028 -0.42821009 25.320740 -24.534631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42816648--0.42821009) × R
    4.36099999999717e-05 × 6371000     		dl = 277.83930999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42816648--0.42821009) × R
    4.36099999999717e-05 × 6371000     		dr = 277.83930999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44188234-0.44193028) × cos(-0.42816648) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.909728562322199 × 6371000     		do = 277.854519346533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44188234-0.44193028) × cos(-0.42821009) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.909710454432679 × 6371000     		du = 277.848988730977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42816648)-sin(-0.42821009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909728562322199-0.909710454432679)×R²
    abs(0.44193028-0.44188234)×1.81078895200582e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.81078895200582e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.81078895200582e-05×40589641000000     		ar = 77198.1396366507m²