Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74760 / 74760
↖ ↑ ↗
← S 24.547123°
E 25.334473°		 ← 277.82 m → S 24.547123°
E 25.337219°		 →
↑
277.84 m
↓
↑
277.84 m
↓
S 24.549622°
E 25.334473°		 ← 277.82 m →
77 189 m²		 S 24.549622°
E 25.337219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570377349853516 y=0.570377349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570377349853516 × 217)
    floor (0.570377349853516 × 131072)
    floor (74760.5)     		tx = 74760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570377349853516 × 217)
    floor (0.570377349853516 × 131072)
    floor (74760.5)     		ty = 74760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74760 / 74760 ti = "17/74760/74760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74760/74760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74760 ÷ 217
    74760 ÷ 131072     		x = 0.57037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74760 ÷ 217
    74760 ÷ 131072     		y = 0.57037353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57037353515625 × 2 - 1) × π
    0.1407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44216996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57037353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1407470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.442169962095398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44216996} λ = 0.44216996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.442169962095398))-π/2
    2×atan(0.642640401663738)-π/2
    2×0.571184102713736-π/2
    1.14236820542747-1.57079632675     		φ = -0.42842812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44216996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42842812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.547123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74760 KachelY 74760 0.44216996 -0.42842812 25.334473 -24.547123
    Oben rechts KachelX + 1 74761 KachelY 74760 0.44221790 -0.42842812 25.337219 -24.547123
    Unten links KachelX 74760 KachelY + 1 74761 0.44216996 -0.42847173 25.334473 -24.549622
    Unten rechts KachelX + 1 74761 KachelY + 1 74761 0.44221790 -0.42847173 25.337219 -24.549622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42842812--0.42847173) × R
    4.36099999999717e-05 × 6371000     		dl = 277.83930999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42842812--0.42847173) × R
    4.36099999999717e-05 × 6371000     		dr = 277.83930999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44216996-0.44221790) × cos(-0.42842812) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.90961989734285 × 6371000     		do = 277.821330264803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44216996-0.44221790) × cos(-0.42847173) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.90960177907394 × 6371000     		du = 277.815796479114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42842812)-sin(-0.42847173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90961989734285-0.90960177907394)×R²
    abs(0.44221790-0.44216996)×1.81182689091841e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.81182689091841e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.81182689091841e-05×40589641000000     		ar = 77188.9179647285m²