Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 752 / 1264
↖ ↑ ↗
← S 38.822591°
W 47.812500°		 ← 15.228 km → S 38.822591°
W 47.636719°		 →
↑
15.213 km
↓
↑
15.213 km
↓
S 38.959409°
W 47.812500°		 ← 15.199 km →
231.449 km²		 S 38.959409°
W 47.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367431640625 y=0.617431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367431640625 × 211)
    floor (0.367431640625 × 2048)
    floor (752.5)     		tx = 752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617431640625 × 211)
    floor (0.617431640625 × 2048)
    floor (1264.5)     		ty = 1264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 752 / 1264 ti = "11/752/1264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/752/1264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 752 ÷ 211
    752 ÷ 2048     		x = 0.3671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1264 ÷ 211
    1264 ÷ 2048     		y = 0.6171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3671875 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6171875 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83448555} λ = -0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736310778164063))-π/2
    2×atan(0.478877345438407)-π/2
    2×0.446607145060981-π/2
    0.893214290121963-1.57079632675     		φ = -0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 752 KachelY 1264 -0.83448555 -0.67758204 -47.812500 -38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 753 KachelY 1264 -0.83141759 -0.67758204 -47.636719 -38.822591
    Unten links KachelX 752 KachelY + 1 1265 -0.83448555 -0.67996996 -47.812500 -38.959409
    Unten rechts KachelX + 1 753 KachelY + 1 1265 -0.83141759 -0.67996996 -47.636719 -38.959409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67758204--0.67996996) × R
    0.00238791999999999 × 6371000     		dl = 15213.4383199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67758204--0.67996996) × R
    0.00238791999999999 × 6371000     		dr = 15213.4383199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83448555--0.83141759) × cos(-0.67758204) × R
    0.00306795999999998 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 15228.0886595606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83448555--0.83141759) × cos(-0.67996996) × R
    0.00306795999999998 × 0.777591607342525 × 6371000     		du = 15198.7846865582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67758204)-sin(-0.67996996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.777591607342525)×R²
    abs(-0.83141759--0.83448555)×0.00149923325702694×R²
    0.00306795999999998×0.00149923325702694×6371000²
    0.00306795999999998×0.00149923325702694×40589641000000     		ar = 231448790.440688m²