Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 753 / 1327
↖ ↑ ↗
← S 46.920255°
W 47.636719°		 ← 13.350 km → S 46.920255°
W 47.460938°		 →
↑
13.335 km
↓
↑
13.335 km
↓
S 47.040182°
W 47.636719°		 ← 13.320 km →
177.829 km²		 S 47.040182°
W 47.460938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367919921875 y=0.648193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367919921875 × 211)
    floor (0.367919921875 × 2048)
    floor (753.5)     		tx = 753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648193359375 × 211)
    floor (0.648193359375 × 2048)
    floor (1327.5)     		ty = 1327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 753 / 1327 ti = "11/753/1327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/753/1327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 753 ÷ 211
    753 ÷ 2048     		x = 0.36767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1327 ÷ 211
    1327 ÷ 2048     		y = 0.64794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83141759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64794921875 × 2 - 1) × π
    -0.2958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.929592357432129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83141759} λ = -0.83141759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.929592357432129))-π/2
    2×atan(0.394714580045696)-π/2
    2×0.375941692841694-π/2
    0.751883385683388-1.57079632675     		φ = -0.81891294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83141759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81891294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.920255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 753 KachelY 1327 -0.83141759 -0.81891294 -47.636719 -46.920255
    Oben rechts KachelX + 1 754 KachelY 1327 -0.82834963 -0.81891294 -47.460938 -46.920255
    Unten links KachelX 753 KachelY + 1 1328 -0.83141759 -0.82100606 -47.636719 -47.040182
    Unten rechts KachelX + 1 754 KachelY + 1 1328 -0.82834963 -0.82100606 -47.460938 -47.040182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81891294--0.82100606) × R
    0.00209311999999995 × 6371000     		dl = 13335.2675199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81891294--0.82100606) × R
    0.00209311999999995 × 6371000     		dr = 13335.2675199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83141759--0.82834963) × cos(-0.81891294) × R
    0.00306796000000009 × 0.68301560342657 × 6371000     		do = 13350.2046524373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83141759--0.82834963) × cos(-0.82100606) × R
    0.00306796000000009 × 0.681485285580883 × 6371000     		du = 13320.2931008993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81891294)-sin(-0.82100606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68301560342657-0.681485285580883)×R²
    abs(-0.82834963--0.83141759)×0.0015303178456868×R²
    0.00306796000000009×0.0015303178456868×6371000²
    0.00306796000000009×0.0015303178456868×40589641000000     		ar = 177829176.14087m²