Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75780 / 75780
↖ ↑ ↗
← S 27.068909°
E 28.135986°		 ← 271.97 m → S 27.068909°
E 28.138733°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
S 27.071355°
E 28.135986°		 ← 271.96 m →
73 952 m²		 S 27.071355°
E 28.138733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578159332275391 y=0.578159332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578159332275391 × 217)
    floor (0.578159332275391 × 131072)
    floor (75780.5)     		tx = 75780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578159332275391 × 217)
    floor (0.578159332275391 × 131072)
    floor (75780.5)     		ty = 75780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75780 / 75780 ti = "17/75780/75780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75780/75780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75780 ÷ 217
    75780 ÷ 131072     		x = 0.578155517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75780 ÷ 217
    75780 ÷ 131072     		y = 0.578155517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578155517578125 × 2 - 1) × π
    0.15631103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49106560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578155517578125 × 2 - 1) × π
    -0.15631103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.491065599707855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49106560} λ = 0.49106560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.491065599707855))-π/2
    2×atan(0.61197392737371)-π/2
    2×0.54917736908426-π/2
    1.09835473816852-1.57079632675     		φ = -0.47244159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49106560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.135986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47244159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.068909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75780 KachelY 75780 0.49106560 -0.47244159 28.135986 -27.068909
    Oben rechts KachelX + 1 75781 KachelY 75780 0.49111354 -0.47244159 28.138733 -27.068909
    Unten links KachelX 75780 KachelY + 1 75781 0.49106560 -0.47248427 28.135986 -27.071355
    Unten rechts KachelX + 1 75781 KachelY + 1 75781 0.49111354 -0.47248427 28.138733 -27.071355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47244159--0.47248427) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dl = 271.914279999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47244159--0.47248427) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dr = 271.914279999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49106560-0.49111354) × cos(-0.47244159) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.890459869189236 × 6371000     		do = 271.969364487562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49106560-0.49111354) × cos(-0.47248427) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.890440446341555 × 6371000     		du = 271.963432249936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47244159)-sin(-0.47248427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890459869189236-0.890440446341555)×R²
    abs(0.49111354-0.49106560)×1.94228476818603e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.94228476818603e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.94228476818603e-05×40589641000000     		ar = 73951.5474077804m²