Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75808 / 75808
↖ ↑ ↗
← S 27.137368°
E 28.212890°		 ← 271.80 m → S 27.137368°
E 28.215637°		 →
↑
271.79 m
↓
↑
271.79 m
↓
S 27.139813°
E 28.212890°		 ← 271.80 m →
73 872 m²		 S 27.139813°
E 28.215637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578372955322266 y=0.578372955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578372955322266 × 217)
    floor (0.578372955322266 × 131072)
    floor (75808.5)     		tx = 75808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578372955322266 × 217)
    floor (0.578372955322266 × 131072)
    floor (75808.5)     		ty = 75808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75808 / 75808 ti = "17/75808/75808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75808/75808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75808 ÷ 217
    75808 ÷ 131072     		x = 0.578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75808 ÷ 217
    75808 ÷ 131072     		y = 0.578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578369140625 × 2 - 1) × π
    0.15673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49240783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.15673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.492407832897217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49240783} λ = 0.49240783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.492407832897217))-π/2
    2×atan(0.611153066673841)-π/2
    2×0.548579949301228-π/2
    1.09715989860246-1.57079632675     		φ = -0.47363643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49240783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.212890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47363643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.137368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75808 KachelY 75808 0.49240783 -0.47363643 28.212890 -27.137368
    Oben rechts KachelX + 1 75809 KachelY 75808 0.49245577 -0.47363643 28.215637 -27.137368
    Unten links KachelX 75808 KachelY + 1 75809 0.49240783 -0.47367909 28.212890 -27.139813
    Unten rechts KachelX + 1 75809 KachelY + 1 75809 0.49245577 -0.47367909 28.215637 -27.139813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47363643--0.47367909) × R
    4.26600000000277e-05 × 6371000     		dl = 271.786860000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47363643--0.47367909) × R
    4.26600000000277e-05 × 6371000     		dr = 271.786860000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49240783-0.49245577) × cos(-0.47363643) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.889915507675197 × 6371000     		do = 271.803102469309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49240783-0.49245577) × cos(-0.47367909) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.889896048555465 × 6371000     		du = 271.797159153265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47363643)-sin(-0.47367909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889915507675197-0.889896048555465)×R²
    abs(0.49245577-0.49240783)×1.94591197315575e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.94591197315575e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.94591197315575e-05×40589641000000     		ar = 73871.7041119994m²