Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 76 / 28
↖ ↑ ↗
← N 70.612614°
E 33.750000°		 ← 103.814 km → N 70.612614°
E 36.562500°		 →
↑
106.250 km
↓
↑
106.250 km
↓
N 69.657086°
E 33.750000°		 ← 108.719 km →
11 291 km²		 N 69.657086°
E 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59765625 y=0.22265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59765625 × 27)
    floor (0.59765625 × 128)
    floor (76.5)     		tx = 76
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22265625 × 27)
    floor (0.22265625 × 128)
    floor (28.5)     		ty = 28
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 76 / 28 ti = "7/76/28"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/76/28.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76 ÷ 27
    76 ÷ 128     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28 ÷ 27
    28 ÷ 128     		y = 0.21875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21875 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76714586759375))-π/2
    2×atan(5.85412105801472)-π/2
    2×1.4016094693361-π/2
    2.80321893867219-1.57079632675     		φ = 1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76 KachelY 28 0.58904862 1.23242261 33.750000 70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 77 KachelY 28 0.63813601 1.23242261 36.562500 70.612614
    Unten links KachelX 76 KachelY + 1 29 0.58904862 1.21574550 33.750000 69.657086
    Unten rechts KachelX + 1 77 KachelY + 1 29 0.63813601 1.21574550 36.562500 69.657086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23242261-1.21574550) × R
    0.0166771100000001 × 6371000     		dl = 106249.86781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23242261-1.21574550) × R
    0.0166771100000001 × 6371000     		dr = 106249.86781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.63813601) × cos(1.23242261) × R
    0.04908739 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 103813.719952213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.63813601) × cos(1.21574550) × R
    0.04908739 × 0.347638022352561 × 6371000     		du = 108718.841712833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23242261)-sin(1.21574550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.347638022352561)×R²
    abs(0.63813601-0.58904862)×0.0156845566177439×R²
    0.04908739×0.0156845566177439×6371000²
    0.04908739×0.0156845566177439×40589641000000     		ar = 11291039986.6428m²