Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 760 / 1320
↖ ↑ ↗
← S 46.073231°
W 46.406250°		 ← 13.560 km → S 46.073231°
W 46.230468°		 →
↑
13.545 km
↓
↑
13.545 km
↓
S 46.195042°
W 46.406250°		 ← 13.530 km →
183.463 km²		 S 46.195042°
W 46.230468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371337890625 y=0.644775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371337890625 × 211)
    floor (0.371337890625 × 2048)
    floor (760.5)     		tx = 760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644775390625 × 211)
    floor (0.644775390625 × 2048)
    floor (1320.5)     		ty = 1320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 760 / 1320 ti = "11/760/1320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/760/1320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 760 ÷ 211
    760 ÷ 2048     		x = 0.37109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1320 ÷ 211
    1320 ÷ 2048     		y = 0.64453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37109375 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64453125 × 2 - 1) × π
    -0.2890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.908116626402344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80994186} λ = -0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908116626402344))-π/2
    2×atan(0.403283041874041)-π/2
    2×0.383333377684421-π/2
    0.766666755368841-1.57079632675     		φ = -0.80412957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80412957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.073231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 760 KachelY 1320 -0.80994186 -0.80412957 -46.406250 -46.073231
    Oben rechts KachelX + 1 761 KachelY 1320 -0.80687389 -0.80412957 -46.230468 -46.073231
    Unten links KachelX 760 KachelY + 1 1321 -0.80994186 -0.80625558 -46.406250 -46.195042
    Unten rechts KachelX + 1 761 KachelY + 1 1321 -0.80687389 -0.80625558 -46.230468 -46.195042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80412957--0.80625558) × R
    0.00212601000000001 × 6371000     		dl = 13544.8097100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80412957--0.80625558) × R
    0.00212601000000001 × 6371000     		dr = 13544.8097100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80994186--0.80687389) × cos(-0.80412957) × R
    0.00306797000000003 × 0.693738404991914 × 6371000     		do = 13559.8364421071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80994186--0.80687389) × cos(-0.80625558) × R
    0.00306797000000003 × 0.692205628382587 × 6371000     		du = 13529.8767339877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80412957)-sin(-0.80625558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693738404991914-0.692205628382587)×R²
    abs(-0.80687389--0.80994186)×0.00153277660932649×R²
    0.00306797000000003×0.00153277660932649×6371000²
    0.00306797000000003×0.00153277660932649×40589641000000     		ar = 183462574.137339m²