Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 760 / 248
↖ ↑ ↗
← N 67.609220°
E 87.187500°		 ← 14.891 km → N 67.609220°
E 87.539062°		 →
↑
14.933 km
↓
↑
14.933 km
↓
N 67.474922°
E 87.187500°		 ← 14.976 km →
223.003 km²		 N 67.474922°
E 87.539062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74267578125 y=0.24267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74267578125 × 210)
    floor (0.74267578125 × 1024)
    floor (760.5)     		tx = 760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24267578125 × 210)
    floor (0.24267578125 × 1024)
    floor (248.5)     		ty = 248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 760 / 248 ti = "10/760/248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/760/248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 760 ÷ 210
    760 ÷ 1024     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 248 ÷ 210
    248 ÷ 1024     		y = 0.2421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2421875 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61988371196094))-π/2
    2×atan(5.05250273676466)-π/2
    2×1.37539991552054-π/2
    2.75079983104107-1.57079632675     		φ = 1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 760 KachelY 248 1.52170894 1.18000350 87.187500 67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 761 KachelY 248 1.52784486 1.18000350 87.539062 67.609220
    Unten links KachelX 760 KachelY + 1 249 1.52170894 1.17765956 87.187500 67.474922
    Unten rechts KachelX + 1 761 KachelY + 1 249 1.52784486 1.17765956 87.539062 67.474922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18000350-1.17765956) × R
    0.00234394000000004 × 6371000     		dl = 14933.2417400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18000350-1.17765956) × R
    0.00234394000000004 × 6371000     		dr = 14933.2417400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.52784486) × cos(1.18000350) × R
    0.00613592000000018 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 14890.9662797447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.52784486) × cos(1.17765956) × R
    0.00613592000000018 × 0.383087763999222 × 6371000     		du = 14975.6463061069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18000350)-sin(1.17765956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.383087763999222)×R²
    abs(1.52784486-1.52170894)×0.00216617575571704×R²
    0.00613592000000018×0.00216617575571704×6371000²
    0.00613592000000018×0.00216617575571704×40589641000000     		ar = 223002774.948864m²