Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 764 / 1268
↖ ↑ ↗
← S 39.368279°
W 45.703125°		 ← 15.111 km → S 39.368279°
W 45.527344°		 →
↑
15.096 km
↓
↑
15.096 km
↓
S 39.504041°
W 45.703125°		 ← 15.081 km →
227.889 km²		 S 39.504041°
W 45.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373291015625 y=0.619384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373291015625 × 211)
    floor (0.373291015625 × 2048)
    floor (764.5)     		tx = 764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619384765625 × 211)
    floor (0.619384765625 × 2048)
    floor (1268.5)     		ty = 1268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 764 / 1268 ti = "11/764/1268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/764/1268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 764 ÷ 211
    764 ÷ 2048     		x = 0.373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1268 ÷ 211
    1268 ÷ 2048     		y = 0.619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373046875 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619140625 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.748582624466797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79767001} λ = -0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748582624466797))-π/2
    2×atan(0.473036548241022)-π/2
    2×0.441845117407181-π/2
    0.883690234814362-1.57079632675     		φ = -0.68710609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68710609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.368279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 764 KachelY 1268 -0.79767001 -0.68710609 -45.703125 -39.368279
    Oben rechts KachelX + 1 765 KachelY 1268 -0.79460205 -0.68710609 -45.527344 -39.368279
    Unten links KachelX 764 KachelY + 1 1269 -0.79767001 -0.68947558 -45.703125 -39.504041
    Unten rechts KachelX + 1 765 KachelY + 1 1269 -0.79460205 -0.68947558 -45.527344 -39.504041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68710609--0.68947558) × R
    0.00236948999999997 × 6371000     		dl = 15096.0207899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68710609--0.68947558) × R
    0.00236948999999997 × 6371000     		dr = 15096.0207899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79767001--0.79460205) × cos(-0.68710609) × R
    0.00306796000000009 × 0.773084864262395 × 6371000     		do = 15110.6960072755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79767001--0.79460205) × cos(-0.68947558) × R
    0.00306796000000009 × 0.771579721758282 × 6371000     		du = 15081.2765322881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68710609)-sin(-0.68947558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773084864262395-0.771579721758282)×R²
    abs(-0.79460205--0.79767001)×0.00150514250411271×R²
    0.00306796000000009×0.00150514250411271×6371000²
    0.00306796000000009×0.00150514250411271×40589641000000     		ar = 227889429.197629m²