Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 764 / 1276
↖ ↑ ↗
← S 40.446947°
W 45.703125°		 ← 14.875 km → S 40.446947°
W 45.527344°		 →
↑
14.860 km
↓
↑
14.860 km
↓
S 40.580584°
W 45.703125°		 ← 14.845 km →
220.814 km²		 S 40.580584°
W 45.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373291015625 y=0.623291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373291015625 × 211)
    floor (0.373291015625 × 2048)
    floor (764.5)     		tx = 764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623291015625 × 211)
    floor (0.623291015625 × 2048)
    floor (1276.5)     		ty = 1276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 764 / 1276 ti = "11/764/1276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/764/1276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 764 ÷ 211
    764 ÷ 2048     		x = 0.373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1276 ÷ 211
    1276 ÷ 2048     		y = 0.623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373046875 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623046875 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.773126317072266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79767001} λ = -0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773126317072266))-π/2
    2×atan(0.461567803007033)-π/2
    2×0.432431964120923-π/2
    0.864863928241845-1.57079632675     		φ = -0.70593240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70593240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.446947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 764 KachelY 1276 -0.79767001 -0.70593240 -45.703125 -40.446947
    Oben rechts KachelX + 1 765 KachelY 1276 -0.79460205 -0.70593240 -45.527344 -40.446947
    Unten links KachelX 764 KachelY + 1 1277 -0.79767001 -0.70826481 -45.703125 -40.580584
    Unten rechts KachelX + 1 765 KachelY + 1 1277 -0.79460205 -0.70826481 -45.527344 -40.580584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70593240--0.70826481) × R
    0.00233240999999995 × 6371000     		dl = 14859.7841099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70593240--0.70826481) × R
    0.00233240999999995 × 6371000     		dr = 14859.7841099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79767001--0.79460205) × cos(-0.70593240) × R
    0.00306796000000009 × 0.76100699404595 × 6371000     		do = 14874.6222801949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79767001--0.79460205) × cos(-0.70826481) × R
    0.00306796000000009 × 0.759491789194407 × 6371000     		du = 14845.0061268347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70593240)-sin(-0.70826481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76100699404595-0.759491789194407)×R²
    abs(-0.79460205--0.79767001)×0.00151520485154277×R²
    0.00306796000000009×0.00151520485154277×6371000²
    0.00306796000000009×0.00151520485154277×40589641000000     		ar = 220813731.083681m²