Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 764 / 1788
↖ ↑ ↗
← S 79.038438°
W 45.703125°		 ← 3 716.67 m → S 79.038438°
W 45.527344°		 →
↑
3 711.11 m
↓
↑
3 711.11 m
↓
S 79.071812°
W 45.703125°		 ← 3 705.50 m →
13 772 238 m²		 S 79.071812°
W 45.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373291015625 y=0.873291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373291015625 × 211)
    floor (0.373291015625 × 2048)
    floor (764.5)     		tx = 764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.873291015625 × 211)
    floor (0.873291015625 × 2048)
    floor (1788.5)     		ty = 1788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 764 / 1788 ti = "11/764/1788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/764/1788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 764 ÷ 211
    764 ÷ 2048     		x = 0.373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1788 ÷ 211
    1788 ÷ 2048     		y = 0.873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373046875 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.873046875 × 2 - 1) × π
    -0.74609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.34392264382227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79767001} λ = -0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.34392264382227))-π/2
    2×atan(0.0959505193505618)-π/2
    2×0.0956576790560577-π/2
    0.191315358112115-1.57079632675     		φ = -1.37948097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37948097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.038438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 764 KachelY 1788 -0.79767001 -1.37948097 -45.703125 -79.038438
    Oben rechts KachelX + 1 765 KachelY 1788 -0.79460205 -1.37948097 -45.527344 -79.038438
    Unten links KachelX 764 KachelY + 1 1789 -0.79767001 -1.38006347 -45.703125 -79.071812
    Unten rechts KachelX + 1 765 KachelY + 1 1789 -0.79460205 -1.38006347 -45.527344 -79.071812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37948097--1.38006347) × R
    0.000582500000000152 × 6371000     		dl = 3711.10750000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37948097--1.38006347) × R
    0.000582500000000152 × 6371000     		dr = 3711.10750000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79767001--0.79460205) × cos(-1.37948097) × R
    0.00306796000000009 × 0.190150417168949 × 6371000     		do = 3716.67495034718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79767001--0.79460205) × cos(-1.38006347) × R
    0.00306796000000009 × 0.189578512672325 × 6371000     		du = 3705.49652040609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37948097)-sin(-1.38006347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190150417168949-0.189578512672325)×R²
    abs(-0.79460205--0.79767001)×0.000571904496623588×R²
    0.00306796000000009×0.000571904496623588×6371000²
    0.00306796000000009×0.000571904496623588×40589641000000     		ar = 13772238.4951224m²