Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 765 / 1275
↖ ↑ ↗
← S 40.313043°
W 45.527344°		 ← 14.904 km → S 40.313043°
W 45.351563°		 →
↑
14.889 km
↓
↑
14.889 km
↓
S 40.446947°
W 45.527344°		 ← 14.875 km →
221.695 km²		 S 40.446947°
W 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373779296875 y=0.622802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373779296875 × 211)
    floor (0.373779296875 × 2048)
    floor (765.5)     		tx = 765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622802734375 × 211)
    floor (0.622802734375 × 2048)
    floor (1275.5)     		ty = 1275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 765 / 1275 ti = "11/765/1275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/765/1275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 765 ÷ 211
    765 ÷ 2048     		x = 0.37353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1275 ÷ 211
    1275 ÷ 2048     		y = 0.62255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79460205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62255859375 × 2 - 1) × π
    -0.2451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.770058355496582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79460205} λ = -0.79460205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770058355496582))-π/2
    2×atan(0.462986049742051)-π/2
    2×0.433600495658984-π/2
    0.867200991317968-1.57079632675     		φ = -0.70359534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79460205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70359534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.313043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 765 KachelY 1275 -0.79460205 -0.70359534 -45.527344 -40.313043
    Oben rechts KachelX + 1 766 KachelY 1275 -0.79153409 -0.70359534 -45.351563 -40.313043
    Unten links KachelX 765 KachelY + 1 1276 -0.79460205 -0.70593240 -45.527344 -40.446947
    Unten rechts KachelX + 1 766 KachelY + 1 1276 -0.79153409 -0.70593240 -45.351563 -40.446947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70359534--0.70593240) × R
    0.00233706 × 6371000     		dl = 14889.40926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70359534--0.70593240) × R
    0.00233706 × 6371000     		dr = 14889.40926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79460205--0.79153409) × cos(-0.70359534) × R
    0.00306795999999998 × 0.7625210673055 × 6371000     		do = 14904.2163154878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79460205--0.79153409) × cos(-0.70593240) × R
    0.00306795999999998 × 0.76100699404595 × 6371000     		du = 14874.6222801943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70359534)-sin(-0.70593240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7625210673055-0.76100699404595)×R²
    abs(-0.79153409--0.79460205)×0.00151407325955×R²
    0.00306795999999998×0.00151407325955×6371000²
    0.00306795999999998×0.00151407325955×40589641000000     		ar = 221694758.474583m²