Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 766 / 1287
↖ ↑ ↗
← S 41.902277°
W 45.351563°		 ← 14.548 km → S 41.902277°
W 45.175781°		 →
↑
14.533 km
↓
↑
14.533 km
↓
S 42.032975°
W 45.351563°		 ← 14.518 km →
211.205 km²		 S 42.032975°
W 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374267578125 y=0.628662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374267578125 × 211)
    floor (0.374267578125 × 2048)
    floor (766.5)     		tx = 766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628662109375 × 211)
    floor (0.628662109375 × 2048)
    floor (1287.5)     		ty = 1287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 766 / 1287 ti = "11/766/1287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/766/1287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 766 ÷ 211
    766 ÷ 2048     		x = 0.3740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1287 ÷ 211
    1287 ÷ 2048     		y = 0.62841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.806873894404785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79153409} λ = -0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806873894404785))-π/2
    2×atan(0.446250915475452)-π/2
    2×0.419731814182209-π/2
    0.839463628364418-1.57079632675     		φ = -0.73133270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73133270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.902277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 766 KachelY 1287 -0.79153409 -0.73133270 -45.351563 -41.902277
    Oben rechts KachelX + 1 767 KachelY 1287 -0.78846612 -0.73133270 -45.175781 -41.902277
    Unten links KachelX 766 KachelY + 1 1288 -0.79153409 -0.73361380 -45.351563 -42.032975
    Unten rechts KachelX + 1 767 KachelY + 1 1288 -0.78846612 -0.73361380 -45.175781 -42.032975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73133270--0.73361380) × R
    0.00228110000000004 × 6371000     		dl = 14532.8881000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73133270--0.73361380) × R
    0.00228110000000004 × 6371000     		dr = 14532.8881000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79153409--0.78846612) × cos(-0.73133270) × R
    0.00306796999999992 × 0.744285003697341 × 6371000     		do = 14547.8221240559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79153409--0.78846612) × cos(-0.73361380) × R
    0.00306796999999992 × 0.74275960828728 × 6371000     		du = 14518.0066891296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73133270)-sin(-0.73361380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744285003697341-0.74275960828728)×R²
    abs(-0.78846612--0.79153409)×0.00152539541006036×R²
    0.00306796999999992×0.00152539541006036×6371000²
    0.00306796999999992×0.00152539541006036×40589641000000     		ar = 211205310.420334m²