Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 767 / 1277
↖ ↑ ↗
← S 40.580584°
W 45.175781°		 ← 14.845 km → S 40.580584°
W 45.000000°		 →
↑
14.830 km
↓
↑
14.830 km
↓
S 40.713956°
W 45.175781°		 ← 14.815 km →
219.935 km²		 S 40.713956°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374755859375 y=0.623779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374755859375 × 211)
    floor (0.374755859375 × 2048)
    floor (767.5)     		tx = 767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623779296875 × 211)
    floor (0.623779296875 × 2048)
    floor (1277.5)     		ty = 1277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 767 / 1277 ti = "11/767/1277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/767/1277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 767 ÷ 211
    767 ÷ 2048     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1277 ÷ 211
    1277 ÷ 2048     		y = 0.62353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.776194278647949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.776194278647949))-π/2
    2×atan(0.460153900730779)-π/2
    2×0.431265756019201-π/2
    0.862531512038402-1.57079632675     		φ = -0.70826481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70826481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.580584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 767 KachelY 1277 -0.78846612 -0.70826481 -45.175781 -40.580584
    Oben rechts KachelX + 1 768 KachelY 1277 -0.78539816 -0.70826481 -45.000000 -40.580584
    Unten links KachelX 767 KachelY + 1 1278 -0.78846612 -0.71059258 -45.175781 -40.713956
    Unten rechts KachelX + 1 768 KachelY + 1 1278 -0.78539816 -0.71059258 -45.000000 -40.713956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70826481--0.71059258) × R
    0.00232777000000006 × 6371000     		dl = 14830.2226700004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70826481--0.71059258) × R
    0.00232777000000006 × 6371000     		dr = 14830.2226700004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78539816) × cos(-0.70826481) × R
    0.00306796000000009 × 0.759491789194407 × 6371000     		do = 14845.0061268347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78539816) × cos(-0.71059258) × R
    0.00306796000000009 × 0.757975479207299 × 6371000     		du = 14815.3683725245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70826481)-sin(-0.71059258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759491789194407-0.757975479207299)×R²
    abs(-0.78539816--0.78846612)×0.00151630998710794×R²
    0.00306796000000009×0.00151630998710794×6371000²
    0.00306796000000009×0.00151630998710794×40589641000000     		ar = 219935078.460652m²