Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 767 / 1281
↖ ↑ ↗
← S 41.112469°
W 45.175781°		 ← 14.726 km → S 41.112469°
W 45.000000°		 →
↑
14.712 km
↓
↑
14.712 km
↓
S 41.244773°
W 45.175781°		 ← 14.697 km →
216.428 km²		 S 41.244773°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374755859375 y=0.625732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374755859375 × 211)
    floor (0.374755859375 × 2048)
    floor (767.5)     		tx = 767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625732421875 × 211)
    floor (0.625732421875 × 2048)
    floor (1281.5)     		ty = 1281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 767 / 1281 ti = "11/767/1281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/767/1281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 767 ÷ 211
    767 ÷ 2048     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1281 ÷ 211
    1281 ÷ 2048     		y = 0.62548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.788466124950684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788466124950684))-π/2
    2×atan(0.454541470659998)-π/2
    2×0.426624191408632-π/2
    0.853248382817263-1.57079632675     		φ = -0.71754794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71754794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.112469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 767 KachelY 1281 -0.78846612 -0.71754794 -45.175781 -41.112469
    Oben rechts KachelX + 1 768 KachelY 1281 -0.78539816 -0.71754794 -45.000000 -41.112469
    Unten links KachelX 767 KachelY + 1 1282 -0.78846612 -0.71985708 -45.175781 -41.244773
    Unten rechts KachelX + 1 768 KachelY + 1 1282 -0.78539816 -0.71985708 -45.000000 -41.244773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71754794--0.71985708) × R
    0.00230914000000004 × 6371000     		dl = 14711.5309400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71754794--0.71985708) × R
    0.00230914000000004 × 6371000     		dr = 14711.5309400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78539816) × cos(-0.71754794) × R
    0.00306796000000009 × 0.753420318147633 × 6371000     		do = 14726.3333167127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78539816) × cos(-0.71985708) × R
    0.00306796000000009 × 0.751899960719653 × 6371000     		du = 14696.6164512318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71754794)-sin(-0.71985708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753420318147633-0.751899960719653)×R²
    abs(-0.78539816--0.78846612)×0.0015203574279804×R²
    0.00306796000000009×0.0015203574279804×6371000²
    0.00306796000000009×0.0015203574279804×40589641000000     		ar = 216428414.097265m²