Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 767 / 1790
↖ ↑ ↗
← S 79.105086°
W 45.175781°		 ← 3 694.35 m → S 79.105086°
W 45.000000°		 →
↑
3 688.81 m
↓
↑
3 688.81 m
↓
S 79.138261°
W 45.175781°		 ← 3 683.24 m →
13 607 256 m²		 S 79.138261°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374755859375 y=0.874267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374755859375 × 211)
    floor (0.374755859375 × 2048)
    floor (767.5)     		tx = 767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874267578125 × 211)
    floor (0.874267578125 × 2048)
    floor (1790.5)     		ty = 1790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 767 / 1790 ti = "11/767/1790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/767/1790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 767 ÷ 211
    767 ÷ 2048     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1790 ÷ 211
    1790 ÷ 2048     		y = 0.8740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8740234375 × 2 - 1) × π
    -0.748046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35005856697363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35005856697363))-π/2
    2×atan(0.0953635768959)-π/2
    2×0.0950760586021759-π/2
    0.190152117204352-1.57079632675     		φ = -1.38064421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38064421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.105086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 767 KachelY 1790 -0.78846612 -1.38064421 -45.175781 -79.105086
    Oben rechts KachelX + 1 768 KachelY 1790 -0.78539816 -1.38064421 -45.000000 -79.105086
    Unten links KachelX 767 KachelY + 1 1791 -0.78846612 -1.38122321 -45.175781 -79.138261
    Unten rechts KachelX + 1 768 KachelY + 1 1791 -0.78539816 -1.38122321 -45.000000 -79.138261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38064421--1.38122321) × R
    0.000578999999999885 × 6371000     		dl = 3688.80899999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38064421--1.38122321) × R
    0.000578999999999885 × 6371000     		dr = 3688.80899999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78539816) × cos(-1.38064421) × R
    0.00306796000000009 × 0.189008272127693 × 6371000     		do = 3694.35061402598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78539816) × cos(-1.38122321) × R
    0.00306796000000009 × 0.188439676666111 × 6371000     		du = 3683.236862395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38064421)-sin(-1.38122321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189008272127693-0.188439676666111)×R²
    abs(-0.78539816--0.78846612)×0.000568595461581972×R²
    0.00306796000000009×0.000568595461581972×6371000²
    0.00306796000000009×0.000568595461581972×40589641000000     		ar = 13607255.92079m²