Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 768 / 1280
↖ ↑ ↗
← S 40.979898°
W 45.000000°		 ← 14.756 km → S 40.979898°
W 44.824219°		 →
↑
14.741 km
↓
↑
14.741 km
↓
S 41.112469°
W 45.000000°		 ← 14.726 km →
217.302 km²		 S 41.112469°
W 44.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375244140625 y=0.625244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375244140625 × 211)
    floor (0.375244140625 × 2048)
    floor (768.5)     		tx = 768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625244140625 × 211)
    floor (0.625244140625 × 2048)
    floor (1280.5)     		ty = 1280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 768 / 1280 ti = "11/768/1280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/768/1280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 768 ÷ 211
    768 ÷ 2048     		x = 0.375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1280 ÷ 211
    1280 ÷ 2048     		y = 0.625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Λ = -0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Φ = -0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78539816} λ = -0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.785398163375))-π/2
    2×atan(0.455938127776231)-π/2
    2×0.427781089182652-π/2
    0.855562178365304-1.57079632675     		φ = -0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 768 KachelY 1280 -0.78539816 -0.71523415 -45.000000 -40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 769 KachelY 1280 -0.78233020 -0.71523415 -44.824219 -40.979898
    Unten links KachelX 768 KachelY + 1 1281 -0.78539816 -0.71754794 -45.000000 -41.112469
    Unten rechts KachelX + 1 769 KachelY + 1 1281 -0.78233020 -0.71754794 -44.824219 -41.112469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71523415--0.71754794) × R
    0.00231378999999998 × 6371000     		dl = 14741.1560899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71523415--0.71754794) × R
    0.00231378999999998 × 6371000     		dr = 14741.1560899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78539816--0.78233020) × cos(-0.71523415) × R
    0.00306795999999998 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 14756.0312640321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78539816--0.78233020) × cos(-0.71754794) × R
    0.00306795999999998 × 0.753420318147633 × 6371000     		du = 14726.3333167122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71523415)-sin(-0.71754794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.753420318147633)×R²
    abs(-0.78233020--0.78539816)×0.00151938954774766×R²
    0.00306795999999998×0.00151938954774766×6371000²
    0.00306795999999998×0.00151938954774766×40589641000000     		ar = 217302166.039699m²