Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7682 / 10754
↖ ↑ ↗
← S 48.951367°
W 11.206055°		 ← 1 604.46 m → S 48.951367°
W 11.184082°		 →
↑
1 604.22 m
↓
↑
1 604.22 m
↓
S 48.965794°
W 11.206055°		 ← 1 603.99 m →
2 573 527 m²		 S 48.965794°
W 11.184082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468902587890625 y=0.656402587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468902587890625 × 214)
    floor (0.468902587890625 × 16384)
    floor (7682.5)     		tx = 7682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656402587890625 × 214)
    floor (0.656402587890625 × 16384)
    floor (10754.5)     		ty = 10754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7682 / 10754 ti = "14/7682/10754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7682/10754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7682 ÷ 214
    7682 ÷ 16384     		x = 0.4688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10754 ÷ 214
    10754 ÷ 16384     		y = 0.6563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19558255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.312744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.982514694612671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19558255} λ = -0.19558255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982514694612671))-π/2
    2×atan(0.374368491734291)-π/2
    2×0.358216904272472-π/2
    0.716433808544943-1.57079632675     		φ = -0.85436252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19558255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85436252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.951367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7682 KachelY 10754 -0.19558255 -0.85436252 -11.206055 -48.951367
    Oben rechts KachelX + 1 7683 KachelY 10754 -0.19519906 -0.85436252 -11.184082 -48.951367
    Unten links KachelX 7682 KachelY + 1 10755 -0.19558255 -0.85461432 -11.206055 -48.965794
    Unten rechts KachelX + 1 7683 KachelY + 1 10755 -0.19519906 -0.85461432 -11.184082 -48.965794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85436252--0.85461432) × R
    0.000251800000000024 × 6371000     		dl = 1604.21780000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85436252--0.85461432) × R
    0.000251800000000024 × 6371000     		dr = 1604.21780000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19558255--0.19519906) × cos(-0.85436252) × R
    0.000383489999999986 × 0.656699400236557 × 6371000     		do = 1604.45768724203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19558255--0.19519906) × cos(-0.85461432) × R
    0.000383489999999986 × 0.656509483836576 × 6371000     		du = 1603.99368068473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85436252)-sin(-0.85461432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656699400236557-0.656509483836576)×R²
    abs(-0.19519906--0.19558255)×0.000189916399980561×R²
    0.000383489999999986×0.000189916399980561×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189916399980561×40589641000000     		ar = 2573527.41102895m²