Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7688 / 10760
↖ ↑ ↗
← S 49.037868°
W 11.074219°		 ← 1 601.72 m → S 49.037868°
W 11.052246°		 →
↑
1 601.48 m
↓
↑
1 601.48 m
↓
S 49.052270°
W 11.074219°		 ← 1 601.25 m →
2 564 742 m²		 S 49.052270°
W 11.052246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469268798828125 y=0.656768798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469268798828125 × 214)
    floor (0.469268798828125 × 16384)
    floor (7688.5)     		tx = 7688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656768798828125 × 214)
    floor (0.656768798828125 × 16384)
    floor (10760.5)     		ty = 10760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7688 / 10760 ti = "14/7688/10760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7688/10760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7688 ÷ 214
    7688 ÷ 16384     		x = 0.46923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10760 ÷ 214
    10760 ÷ 16384     		y = 0.65673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65673828125 × 2 - 1) × π
    -0.3134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.984815665794434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19328158} λ = -0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984815665794434))-π/2
    2×atan(0.37350807090484)-π/2
    2×0.357462036504608-π/2
    0.714924073009217-1.57079632675     		φ = -0.85587225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85587225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.037868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7688 KachelY 10760 -0.19328158 -0.85587225 -11.074219 -49.037868
    Oben rechts KachelX + 1 7689 KachelY 10760 -0.19289808 -0.85587225 -11.052246 -49.037868
    Unten links KachelX 7688 KachelY + 1 10761 -0.19328158 -0.85612362 -11.074219 -49.052270
    Unten rechts KachelX + 1 7689 KachelY + 1 10761 -0.19289808 -0.85612362 -11.052246 -49.052270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85587225--0.85612362) × R
    0.000251369999999973 × 6371000     		dl = 1601.47826999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85587225--0.85612362) × R
    0.000251369999999973 × 6371000     		dr = 1601.47826999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19328158--0.19289808) × cos(-0.85587225) × R
    0.000383500000000009 × 0.655560085708572 × 6371000     		do = 1601.71586286995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19328158--0.19289808) × cos(-0.85612362) × R
    0.000383500000000009 × 0.65537024469934 × 6371000     		du = 1601.25202841367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85587225)-sin(-0.85612362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655560085708572-0.65537024469934)×R²
    abs(-0.19289808--0.19328158)×0.000189841009232139×R²
    0.000383500000000009×0.000189841009232139×6371000²
    0.000383500000000009×0.000189841009232139×40589641000000     		ar = 2564741.75220404m²