Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7688 / 3592
↖ ↑ ↗
← N 21.616579°
E157.851562°		 ← 4 542.89 m → N 21.616579°
E157.895508°		 →
↑
4 543.48 m
↓
↑
4 543.48 m
↓
N 21.575719°
E157.851562°		 ← 4 544.17 m →
20 643 416 m²		 N 21.575719°
E157.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93853759765625 y=0.43853759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93853759765625 × 213)
    floor (0.93853759765625 × 8192)
    floor (7688.5)     		tx = 7688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43853759765625 × 213)
    floor (0.43853759765625 × 8192)
    floor (3592.5)     		ty = 3592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7688 / 3592 ti = "13/7688/3592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7688/3592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7688 ÷ 213
    7688 ÷ 8192     		x = 0.9384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3592 ÷ 213
    3592 ÷ 8192     		y = 0.4384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9384765625 × 2 - 1) × π
    0.876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.75502949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4384765625 × 2 - 1) × π
    0.123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.386563158536133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.75502949} λ = 2.75502949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386563158536133))-π/2
    2×atan(1.47191335802372)-π/2
    2×0.97403840461466-π/2
    1.94807680922932-1.57079632675     		φ = 0.37728048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.75502949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37728048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.616579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7688 KachelY 3592 2.75502949 0.37728048 157.851562 21.616579
    Oben rechts KachelX + 1 7689 KachelY 3592 2.75579649 0.37728048 157.895508 21.616579
    Unten links KachelX 7688 KachelY + 1 3593 2.75502949 0.37656733 157.851562 21.575719
    Unten rechts KachelX + 1 7689 KachelY + 1 3593 2.75579649 0.37656733 157.895508 21.575719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37728048-0.37656733) × R
    0.000713149999999996 × 6371000     		dl = 4543.47864999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37728048-0.37656733) × R
    0.000713149999999996 × 6371000     		dr = 4543.47864999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.75502949-2.75579649) × cos(0.37728048) × R
    0.00076699999999974 × 0.929669925866356 × 6371000     		do = 4542.88508393018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.75502949-2.75579649) × cos(0.37656733) × R
    0.00076699999999974 × 0.929932409317731 × 6371000     		du = 4544.16772427689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37728048)-sin(0.37656733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929669925866356-0.929932409317731)×R²
    abs(2.75579649-2.75502949)×0.000262483451375473×R²
    0.00076699999999974×0.000262483451375473×6371000²
    0.00076699999999974×0.000262483451375473×40589641000000     		ar = 20643416.0876643m²