Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 769 / 255
↖ ↑ ↗
← N 66.652977°
E 90.351563°		 ← 15.492 km → N 66.652977°
E 90.703125°		 →
↑
15.536 km
↓
↑
15.536 km
↓
N 66.513260°
E 90.351563°		 ← 15.580 km →
241.362 km²		 N 66.513260°
E 90.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75146484375 y=0.24951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75146484375 × 210)
    floor (0.75146484375 × 1024)
    floor (769.5)     		tx = 769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24951171875 × 210)
    floor (0.24951171875 × 1024)
    floor (255.5)     		ty = 255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 769 / 255 ti = "10/769/255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/769/255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 769 ÷ 210
    769 ÷ 1024     		x = 0.7509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 255 ÷ 210
    255 ÷ 1024     		y = 0.2490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7509765625 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57693225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2490234375 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.57693224990137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57693225} λ = 1.57693225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57693224990137))-π/2
    2×atan(4.84008484194008)-π/2
    2×1.36705511933703-π/2
    2.73411023867405-1.57079632675     		φ = 1.16331391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57693225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16331391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.652977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 769 KachelY 255 1.57693225 1.16331391 90.351563 66.652977
    Oben rechts KachelX + 1 770 KachelY 255 1.58306817 1.16331391 90.703125 66.652977
    Unten links KachelX 769 KachelY + 1 256 1.57693225 1.16087539 90.351563 66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 770 KachelY + 1 256 1.58306817 1.16087539 90.703125 66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16331391-1.16087539) × R
    0.00243852000000011 × 6371000     		dl = 15535.8109200007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16331391-1.16087539) × R
    0.00243852000000011 × 6371000     		dr = 15535.8109200007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57693225-1.58306817) × cos(1.16331391) × R
    0.00613591999999996 × 0.396299139205757 × 6371000     		do = 15492.1046764936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57693225-1.58306817) × cos(1.16087539) × R
    0.00613591999999996 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 15579.5798264867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16331391)-sin(1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396299139205757-0.398536816226928)×R²
    abs(1.58306817-1.57693225)×0.00223767702117084×R²
    0.00613591999999996×0.00223767702117084×6371000²
    0.00613591999999996×0.00223767702117084×40589641000000     		ar = 241362027.304619m²