Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 770 / 1287
↖ ↑ ↗
← S 41.902277°
W 44.648437°		 ← 14.548 km → S 41.902277°
W 44.472656°		 →
↑
14.533 km
↓
↑
14.533 km
↓
S 42.032975°
W 44.648437°		 ← 14.518 km →
211.205 km²		 S 42.032975°
W 44.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376220703125 y=0.628662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376220703125 × 211)
    floor (0.376220703125 × 2048)
    floor (770.5)     		tx = 770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628662109375 × 211)
    floor (0.628662109375 × 2048)
    floor (1287.5)     		ty = 1287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 770 / 1287 ti = "11/770/1287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/770/1287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 770 ÷ 211
    770 ÷ 2048     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1287 ÷ 211
    1287 ÷ 2048     		y = 0.62841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.806873894404785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806873894404785))-π/2
    2×atan(0.446250915475452)-π/2
    2×0.419731814182209-π/2
    0.839463628364418-1.57079632675     		φ = -0.73133270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73133270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.902277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 770 KachelY 1287 -0.77926224 -0.73133270 -44.648437 -41.902277
    Oben rechts KachelX + 1 771 KachelY 1287 -0.77619428 -0.73133270 -44.472656 -41.902277
    Unten links KachelX 770 KachelY + 1 1288 -0.77926224 -0.73361380 -44.648437 -42.032975
    Unten rechts KachelX + 1 771 KachelY + 1 1288 -0.77619428 -0.73361380 -44.472656 -42.032975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73133270--0.73361380) × R
    0.00228110000000004 × 6371000     		dl = 14532.8881000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73133270--0.73361380) × R
    0.00228110000000004 × 6371000     		dr = 14532.8881000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77619428) × cos(-0.73133270) × R
    0.00306795999999998 × 0.744285003697341 × 6371000     		do = 14547.7747056586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77619428) × cos(-0.73361380) × R
    0.00306795999999998 × 0.74275960828728 × 6371000     		du = 14517.9593679152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73133270)-sin(-0.73361380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744285003697341-0.74275960828728)×R²
    abs(-0.77619428--0.77926224)×0.00152539541006036×R²
    0.00306795999999998×0.00152539541006036×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152539541006036×40589641000000     		ar = 211204621.999948m²