Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7712 / 10784
↖ ↑ ↗
← S 49.382373°
W 10.546875°		 ← 1 590.55 m → S 49.382373°
W 10.524902°		 →
↑
1 590.33 m
↓
↑
1 590.33 m
↓
S 49.396675°
W 10.546875°		 ← 1 590.09 m →
2 529 133 m²		 S 49.396675°
W 10.524902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470733642578125 y=0.658233642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470733642578125 × 214)
    floor (0.470733642578125 × 16384)
    floor (7712.5)     		tx = 7712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658233642578125 × 214)
    floor (0.658233642578125 × 16384)
    floor (10784.5)     		ty = 10784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7712 / 10784 ti = "14/7712/10784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7712/10784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7712 ÷ 214
    7712 ÷ 16384     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10784 ÷ 214
    10784 ÷ 16384     		y = 0.658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658203125 × 2 - 1) × π
    -0.31640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.994019550521484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994019550521484))-π/2
    2×atan(0.370086117464643)-π/2
    2×0.354455664616414-π/2
    0.708911329232827-1.57079632675     		φ = -0.86188500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86188500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.382373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7712 KachelY 10784 -0.18407769 -0.86188500 -10.546875 -49.382373
    Oben rechts KachelX + 1 7713 KachelY 10784 -0.18369420 -0.86188500 -10.524902 -49.382373
    Unten links KachelX 7712 KachelY + 1 10785 -0.18407769 -0.86213462 -10.546875 -49.396675
    Unten rechts KachelX + 1 7713 KachelY + 1 10785 -0.18369420 -0.86213462 -10.524902 -49.396675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86188500--0.86213462) × R
    0.00024961999999995 × 6371000     		dl = 1590.32901999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86188500--0.86213462) × R
    0.00024961999999995 × 6371000     		dr = 1590.32901999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18369420) × cos(-0.86188500) × R
    0.000383489999999986 × 0.651007776650759 × 6371000     		do = 1590.55182831809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18369420) × cos(-0.86213462) × R
    0.000383489999999986 × 0.650818277052435 × 6371000     		du = 1590.08884009677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86188500)-sin(-0.86213462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651007776650759-0.650818277052435)×R²
    abs(-0.18369420--0.18407769)×0.000189499598324039×R²
    0.000383489999999986×0.000189499598324039×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189499598324039×40589641000000     		ar = 2529132.591718m²