Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 772 / 1292
↖ ↑ ↗
← S 42.553080°
W 44.296875°		 ← 14.399 km → S 42.553080°
W 44.121094°		 →
↑
14.384 km
↓
↑
14.384 km
↓
S 42.682435°
W 44.296875°		 ← 14.369 km →
206.889 km²		 S 42.682435°
W 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377197265625 y=0.631103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377197265625 × 211)
    floor (0.377197265625 × 2048)
    floor (772.5)     		tx = 772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631103515625 × 211)
    floor (0.631103515625 × 2048)
    floor (1292.5)     		ty = 1292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 772 / 1292 ti = "11/772/1292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/772/1292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 772 ÷ 211
    772 ÷ 2048     		x = 0.376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1292 ÷ 211
    1292 ÷ 2048     		y = 0.630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630859375 × 2 - 1) × π
    -0.26171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.822213702283203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77312632} λ = -0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822213702283203))-π/2
    2×atan(0.439457748313722)-π/2
    2×0.414052484452215-π/2
    0.82810496890443-1.57079632675     		φ = -0.74269136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74269136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.553080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 772 KachelY 1292 -0.77312632 -0.74269136 -44.296875 -42.553080
    Oben rechts KachelX + 1 773 KachelY 1292 -0.77005836 -0.74269136 -44.121094 -42.553080
    Unten links KachelX 772 KachelY + 1 1293 -0.77312632 -0.74494903 -44.296875 -42.682435
    Unten rechts KachelX + 1 773 KachelY + 1 1293 -0.77005836 -0.74494903 -44.121094 -42.682435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74269136--0.74494903) × R
    0.00225766999999999 × 6371000     		dl = 14383.6155699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74269136--0.74494903) × R
    0.00225766999999999 × 6371000     		dr = 14383.6155699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77312632--0.77005836) × cos(-0.74269136) × R
    0.00306795999999998 × 0.736651134889731 × 6371000     		do = 14398.5633108381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77312632--0.77005836) × cos(-0.74494903) × R
    0.00306795999999998 × 0.735122457649648 × 6371000     		du = 14368.6838265332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74269136)-sin(-0.74494903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736651134889731-0.735122457649648)×R²
    abs(-0.77005836--0.77312632)×0.0015286772400831×R²
    0.00306795999999998×0.0015286772400831×6371000²
    0.00306795999999998×0.0015286772400831×40589641000000     		ar = 206888599.792769m²