Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 774 / 1278
↖ ↑ ↗
← S 40.713956°
W 43.945312°		 ← 14.815 km → S 40.713956°
W 43.769531°		 →
↑
14.801 km
↓
↑
14.801 km
↓
S 40.847060°
W 43.945312°		 ← 14.786 km →
219.056 km²		 S 40.847060°
W 43.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378173828125 y=0.624267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378173828125 × 211)
    floor (0.378173828125 × 2048)
    floor (774.5)     		tx = 774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624267578125 × 211)
    floor (0.624267578125 × 2048)
    floor (1278.5)     		ty = 1278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 774 / 1278 ti = "11/774/1278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/774/1278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 774 ÷ 211
    774 ÷ 2048     		x = 0.3779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1278 ÷ 211
    1278 ÷ 2048     		y = 0.6240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    -0.244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76699039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6240234375 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.779262240223633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76699039} λ = -0.76699039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779262240223633))-π/2
    2×atan(0.458744329605081)-π/2
    2×0.430101873065779-π/2
    0.860203746131559-1.57079632675     		φ = -0.71059258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76699039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71059258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.713956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 774 KachelY 1278 -0.76699039 -0.71059258 -43.945312 -40.713956
    Oben rechts KachelX + 1 775 KachelY 1278 -0.76392243 -0.71059258 -43.769531 -40.713956
    Unten links KachelX 774 KachelY + 1 1279 -0.76699039 -0.71291569 -43.945312 -40.847060
    Unten rechts KachelX + 1 775 KachelY + 1 1279 -0.76392243 -0.71291569 -43.769531 -40.847060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71059258--0.71291569) × R
    0.00232310999999996 × 6371000     		dl = 14800.5338099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71059258--0.71291569) × R
    0.00232310999999996 × 6371000     		dr = 14800.5338099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76699039--0.76392243) × cos(-0.71059258) × R
    0.00306795999999998 × 0.757975479207299 × 6371000     		do = 14815.3683725239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76699039--0.76392243) × cos(-0.71291569) × R
    0.00306795999999998 × 0.756458109966538 × 6371000     		du = 14785.7099140702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71059258)-sin(-0.71291569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757975479207299-0.756458109966538)×R²
    abs(-0.76392243--0.76699039)×0.00151736924076162×R²
    0.00306795999999998×0.00151736924076162×6371000²
    0.00306795999999998×0.00151736924076162×40589641000000     		ar = 219055978.514112m²