Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 774 / 1282
↖ ↑ ↗
← S 41.244773°
W 43.945312°		 ← 14.697 km → S 41.244773°
W 43.769531°		 →
↑
14.682 km
↓
↑
14.682 km
↓
S 41.376808°
W 43.945312°		 ← 14.667 km →
215.553 km²		 S 41.376808°
W 43.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378173828125 y=0.626220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378173828125 × 211)
    floor (0.378173828125 × 2048)
    floor (774.5)     		tx = 774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626220703125 × 211)
    floor (0.626220703125 × 2048)
    floor (1282.5)     		ty = 1282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 774 / 1282 ti = "11/774/1282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/774/1282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 774 ÷ 211
    774 ÷ 2048     		x = 0.3779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1282 ÷ 211
    1282 ÷ 2048     		y = 0.6259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    -0.244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76699039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.791534086526367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76699039} λ = -0.76699039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791534086526367))-π/2
    2×atan(0.453149091867909)-π/2
    2×0.425469625094814-π/2
    0.850939250189629-1.57079632675     		φ = -0.71985708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76699039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71985708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.244773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 774 KachelY 1282 -0.76699039 -0.71985708 -43.945312 -41.244773
    Oben rechts KachelX + 1 775 KachelY 1282 -0.76392243 -0.71985708 -43.769531 -41.244773
    Unten links KachelX 774 KachelY + 1 1283 -0.76699039 -0.72216154 -43.945312 -41.376808
    Unten rechts KachelX + 1 775 KachelY + 1 1283 -0.76392243 -0.72216154 -43.769531 -41.376808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71985708--0.72216154) × R
    0.00230445999999995 × 6371000     		dl = 14681.7146599997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71985708--0.72216154) × R
    0.00230445999999995 × 6371000     		dr = 14681.7146599997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76699039--0.76392243) × cos(-0.71985708) × R
    0.00306795999999998 × 0.751899960719653 × 6371000     		do = 14696.6164512313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76699039--0.76392243) × cos(-0.72216154) × R
    0.00306795999999998 × 0.750378687593506 × 6371000     		du = 14666.8816875386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71985708)-sin(-0.72216154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751899960719653-0.750378687593506)×R²
    abs(-0.76392243--0.76699039)×0.00152127312614703×R²
    0.00306795999999998×0.00152127312614703×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152127312614703×40589641000000     		ar = 215553345.938423m²