Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 774 / 254
↖ ↑ ↗
← N 66.791909°
E 92.109375°		 ← 15.405 km → N 66.791909°
E 92.460938°		 →
↑
15.449 km
↓
↑
15.449 km
↓
N 66.652977°
E 92.109375°		 ← 15.492 km →
238.658 km²		 N 66.652977°
E 92.460938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75634765625 y=0.24853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75634765625 × 210)
    floor (0.75634765625 × 1024)
    floor (774.5)     		tx = 774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24853515625 × 210)
    floor (0.24853515625 × 1024)
    floor (254.5)     		ty = 254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 774 / 254 ti = "10/774/254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/774/254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 774 ÷ 210
    774 ÷ 1024     		x = 0.755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 254 ÷ 210
    254 ÷ 1024     		y = 0.248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755859375 × 2 - 1) × π
    0.51171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60761187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248046875 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58306817305273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60761187} λ = 1.60761187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58306817305273))-π/2
    2×atan(4.86987453073291)-π/2
    2×1.3682675303911-π/2
    2.7365350607822-1.57079632675     		φ = 1.16573873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60761187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16573873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.791909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 774 KachelY 254 1.60761187 1.16573873 92.109375 66.791909
    Oben rechts KachelX + 1 775 KachelY 254 1.61374779 1.16573873 92.460938 66.791909
    Unten links KachelX 774 KachelY + 1 255 1.60761187 1.16331391 92.109375 66.652977
    Unten rechts KachelX + 1 775 KachelY + 1 255 1.61374779 1.16331391 92.460938 66.652977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16573873-1.16331391) × R
    0.00242481999999988 × 6371000     		dl = 15448.5282199993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16573873-1.16331391) × R
    0.00242481999999988 × 6371000     		dr = 15448.5282199993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60761187-1.61374779) × cos(1.16573873) × R
    0.00613591999999996 × 0.394071697069453 × 6371000     		do = 15405.0296280702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60761187-1.61374779) × cos(1.16331391) × R
    0.00613591999999996 × 0.396299139205757 × 6371000     		du = 15492.1046764936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16573873)-sin(1.16331391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394071697069453-0.396299139205757)×R²
    abs(1.61374779-1.60761187)×0.00222744213630449×R²
    0.00613591999999996×0.00222744213630449×6371000²
    0.00613591999999996×0.00222744213630449×40589641000000     		ar = 238657742.547976m²