Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 775 / 263
↖ ↑ ↗
← N 65.512963°
E 92.460938°		 ← 16.203 km → N 65.512963°
E 92.812500°		 →
↑
16.248 km
↓
↑
16.248 km
↓
N 65.366837°
E 92.460938°		 ← 16.294 km →
264.012 km²		 N 65.366837°
E 92.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75732421875 y=0.25732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75732421875 × 210)
    floor (0.75732421875 × 1024)
    floor (775.5)     		tx = 775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25732421875 × 210)
    floor (0.25732421875 × 1024)
    floor (263.5)     		ty = 263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 775 / 263 ti = "10/775/263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/775/263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 775 ÷ 210
    775 ÷ 1024     		x = 0.7568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 263 ÷ 210
    263 ÷ 1024     		y = 0.2568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7568359375 × 2 - 1) × π
    0.513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.61374779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2568359375 × 2 - 1) × π
    0.486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52784486469043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61374779} λ = 1.61374779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52784486469043))-π/2
    2×atan(4.60823474347485)-π/2
    2×1.35710661303377-π/2
    2.71421322606754-1.57079632675     		φ = 1.14341690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61374779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.460938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14341690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.512963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 775 KachelY 263 1.61374779 1.14341690 92.460938 65.512963
    Oben rechts KachelX + 1 776 KachelY 263 1.61988371 1.14341690 92.812500 65.512963
    Unten links KachelX 775 KachelY + 1 264 1.61374779 1.14086653 92.460938 65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 776 KachelY + 1 264 1.61988371 1.14086653 92.812500 65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14341690-1.14086653) × R
    0.00255037000000002 × 6371000     		dl = 16248.4072700002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14341690-1.14086653) × R
    0.00255037000000002 × 6371000     		dr = 16248.4072700002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61374779-1.61988371) × cos(1.14341690) × R
    0.00613592000000018 × 0.414487362458354 × 6371000     		do = 16203.1177235409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61374779-1.61988371) × cos(1.14086653) × R
    0.00613592000000018 × 0.416806989093035 × 6371000     		du = 16293.7964434262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14341690)-sin(1.14086653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414487362458354-0.416806989093035)×R²
    abs(1.61988371-1.61374779)×0.00231962663468055×R²
    0.00613592000000018×0.00231962663468055×6371000²
    0.00613592000000018×0.00231962663468055×40589641000000     		ar = 264011691.304439m²