Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 776 / 1288
↖ ↑ ↗
← S 42.032975°
W 43.593750°		 ← 14.518 km → S 42.032975°
W 43.417969°		 →
↑
14.503 km
↓
↑
14.503 km
↓
S 42.163403°
W 43.593750°		 ← 14.488 km →
210.338 km²		 S 42.163403°
W 43.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379150390625 y=0.629150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379150390625 × 211)
    floor (0.379150390625 × 2048)
    floor (776.5)     		tx = 776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629150390625 × 211)
    floor (0.629150390625 × 2048)
    floor (1288.5)     		ty = 1288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 776 / 1288 ti = "11/776/1288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/776/1288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 776 ÷ 211
    776 ÷ 2048     		x = 0.37890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1288 ÷ 211
    1288 ÷ 2048     		y = 0.62890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37890625 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62890625 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.809941855980469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76085447} λ = -0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809941855980469))-π/2
    2×atan(0.444883932811019)-π/2
    2×0.418591265152362-π/2
    0.837182530304723-1.57079632675     		φ = -0.73361380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73361380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.032975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 776 KachelY 1288 -0.76085447 -0.73361380 -43.593750 -42.032975
    Oben rechts KachelX + 1 777 KachelY 1288 -0.75778651 -0.73361380 -43.417969 -42.032975
    Unten links KachelX 776 KachelY + 1 1289 -0.76085447 -0.73589021 -43.593750 -42.163403
    Unten rechts KachelX + 1 777 KachelY + 1 1289 -0.75778651 -0.73589021 -43.417969 -42.163403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73361380--0.73589021) × R
    0.00227641000000001 × 6371000     		dl = 14503.00811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73361380--0.73589021) × R
    0.00227641000000001 × 6371000     		dr = 14503.00811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76085447--0.75778651) × cos(-0.73361380) × R
    0.00306795999999998 × 0.74275960828728 × 6371000     		do = 14517.9593679152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76085447--0.75778651) × cos(-0.73589021) × R
    0.00306795999999998 × 0.741233496148639 × 6371000     		du = 14488.1300210142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73361380)-sin(-0.73589021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74275960828728-0.741233496148639)×R²
    abs(-0.75778651--0.76085447)×0.00152611213864129×R²
    0.00306795999999998×0.00152611213864129×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152611213864129×40589641000000     		ar = 210337865.655171m²