Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 776 / 264
↖ ↑ ↗
← N 65.366837°
E 92.812500°		 ← 16.294 km → N 65.366837°
E 93.164063°		 →
↑
16.339 km
↓
↑
16.339 km
↓
N 65.219894°
E 92.812500°		 ← 16.385 km →
266.974 km²		 N 65.219894°
E 93.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75830078125 y=0.25830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75830078125 × 210)
    floor (0.75830078125 × 1024)
    floor (776.5)     		tx = 776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25830078125 × 210)
    floor (0.25830078125 × 1024)
    floor (264.5)     		ty = 264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 776 / 264 ti = "10/776/264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/776/264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 776 ÷ 210
    776 ÷ 1024     		x = 0.7578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 264 ÷ 210
    264 ÷ 1024     		y = 0.2578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7578125 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61988371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2578125 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52170894153906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61988371} λ = 1.61988371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52170894153906))-π/2
    2×atan(4.58004554105781)-π/2
    2×1.35583142608043-π/2
    2.71166285216086-1.57079632675     		φ = 1.14086653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61988371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14086653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.366837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 776 KachelY 264 1.61988371 1.14086653 92.812500 65.366837
    Oben rechts KachelX + 1 777 KachelY 264 1.62601964 1.14086653 93.164063 65.366837
    Unten links KachelX 776 KachelY + 1 265 1.61988371 1.13830189 92.812500 65.219894
    Unten rechts KachelX + 1 777 KachelY + 1 265 1.62601964 1.13830189 93.164063 65.219894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14086653-1.13830189) × R
    0.00256464000000012 × 6371000     		dl = 16339.3214400008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14086653-1.13830189) × R
    0.00256464000000012 × 6371000     		dr = 16339.3214400008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61988371-1.62601964) × cos(1.14086653) × R
    0.0061359299999999 × 0.416806989093035 × 6371000     		do = 16293.8229981988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61988371-1.62601964) × cos(1.13830189) × R
    0.0061359299999999 × 0.419136860759979 × 6371000     		du = 16384.9023647715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14086653)-sin(1.13830189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416806989093035-0.419136860759979)×R²
    abs(1.62601964-1.61988371)×0.00232987166694376×R²
    0.0061359299999999×0.00232987166694376×6371000²
    0.0061359299999999×0.00232987166694376×40589641000000     		ar = 266974245.310091m²