Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 776 / 265
↖ ↑ ↗
← N 65.219894°
E 92.812500°		 ← 16.385 km → N 65.219894°
E 93.164063°		 →
↑
16.431 km
↓
↑
16.431 km
↓
N 65.072130°
E 92.812500°		 ← 16.476 km →
269.966 km²		 N 65.072130°
E 93.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75830078125 y=0.25927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75830078125 × 210)
    floor (0.75830078125 × 1024)
    floor (776.5)     		tx = 776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25927734375 × 210)
    floor (0.25927734375 × 1024)
    floor (265.5)     		ty = 265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 776 / 265 ti = "10/776/265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/776/265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 776 ÷ 210
    776 ÷ 1024     		x = 0.7578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 265 ÷ 210
    265 ÷ 1024     		y = 0.2587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7578125 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61988371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2587890625 × 2 - 1) × π
    0.482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5155730183877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61988371} λ = 1.61988371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5155730183877))-π/2
    2×atan(4.55202877584876)-π/2
    2×1.35454910688186-π/2
    2.70909821376373-1.57079632675     		φ = 1.13830189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61988371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13830189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.219894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 776 KachelY 265 1.61988371 1.13830189 92.812500 65.219894
    Oben rechts KachelX + 1 777 KachelY 265 1.62601964 1.13830189 93.164063 65.219894
    Unten links KachelX 776 KachelY + 1 266 1.61988371 1.13572292 92.812500 65.072130
    Unten rechts KachelX + 1 777 KachelY + 1 266 1.62601964 1.13572292 93.164063 65.072130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13830189-1.13572292) × R
    0.00257896999999985 × 6371000     		dl = 16430.617869999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13830189-1.13572292) × R
    0.00257896999999985 × 6371000     		dr = 16430.617869999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61988371-1.62601964) × cos(1.13830189) × R
    0.0061359299999999 × 0.419136860759979 × 6371000     		do = 16384.9023647715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61988371-1.62601964) × cos(1.13572292) × R
    0.0061359299999999 × 0.421476970654384 × 6371000     		du = 16476.3819642349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13830189)-sin(1.13572292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419136860759979-0.421476970654384)×R²
    abs(1.62601964-1.61988371)×0.00234010989440531×R²
    0.0061359299999999×0.00234010989440531×6371000²
    0.0061359299999999×0.00234010989440531×40589641000000     		ar = 269965752.394133m²